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R</math>이고 절댓값 기호를 풀면 <math>\sup_{n\ge N+1}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < \gamma</math>를 얻는다. 상한의 정의에 의해, <math>n > N</math>인 임의의 <math>n</math>에 대해 <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < \gamma </math>을 얻는다. 즉, <math>|a_{n+1}| < \gamma |a_n|</math>이다. 새로운 수열 <math>(b_n)</math>을 : <math>b_n=\begin{cases} a_n,&\text{if }n\le N+1\\ \gamma^{n-N-1} a_{N+1},&\text{if } n> N+1 \end{cases}</math> 로 정의하면 임의의 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대해 <math>|a_n|\le |b_n|</math>이다. 이때 : <math>\begin{align} \sum_{i=1}^n |b_i | &= \sum_{i=1}^N |b_i| + \sum_{i=N+1}^n |b_i|\\ &=\sum_{i=1}^N |b_i| +\sum_{i=N+1}^n \gamma^{i-N-1} a_{N+1}\\ &=\sum_{i=1}^N |b_i|+ \frac{1-\gamma^{n-N}}{1-\gamma}|a_{N+1}| \end{align}</math> 이고 <math>|\gamma| < 1</math>이므로 <math>\sum_{n=1}^{\infty}|b_n|=\sum_{i=1}^N |b_i|+ \frac{1}{1-\gamma}|a_{N+1}|</math>이다. 따라서 [[비교판정법]]에 의해 <math>\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|</math>은 수렴한다. <math>\liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r</math>이라 하자. <math>r>1</math>이면 임의의 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 자연수 <math>N</math>이 존재해 임의의 자연수 <math>n > N</math>에 대해 <math>\left|\inf_{m\ge n}\left|\frac{a_{m+1}}{a_m}\right| -r\right|< \varepsilon</math>이다. <math>\varepsilon=r-1</math>로 설정하면 <math>\inf_{n\ge N+1}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1</math>를 얻는다. 하한의 정의에 의해, <math>n > N</math>인 임의의 <math>n</math>에 대해 <math>|a_{n+1}| > |a_n|</math>이고 곧 임의의 양의 정수 <math>k> N</math>에 대해 <math>|a_k| > |a_N|</math>를 얻는다. 그러므로 <math>\lim_{n\to\infty}|a_n| \ne 0</math>이고 따라서 <math>\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0</math>이므로 [[일반항 판정법]]에 의해 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>은 발산한다. == 따름정리 == * <math>\lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1</math>이면 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>은 절대수렴한다. * <math>\lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1</math>이면 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>은 발산한다. * 만약 <math>\lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1</math>이면 판정 불가. == 예시 == 다음 급수는 비율판정법을 이용해 수렴함을 증명할 수 있다. * <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n!}\;(a\in \mathbb{R})</math> * <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}</math> 다음 급수는 비율판정법을 이용해 발산함을 증명할 수 있다. * <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{2^n n!}</math> 다음 급수의 수렴성은 비율판정법으로 판정되지 않는다. * <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}</math> * <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}</math> {{수렴판정법}} [[분류:해석학]][[분류:수학 정리]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · 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