부분군 판정법 편집하기

{{학술}}
== 개요 ==
말 그대로 어떤 [[군 (수학)|군]]의 [[부분집합]]이 [[부분군]]인지 판정하는 방법이다. 

== 1단계 부분군 판정법 ==
=== 진술 ===
군 \(G\)와 [[공집합]]이 아닌 부분집합 \(H\)가 주어졌다고 하자. 이때 임의의 <math>a,b\in H</math>에 대해
: <math>ab^{-1}\in H</math>
이면 \(H\)는 \(G\)의 부분군이다.
=== 증명 ===
\(G\)에서 [[결합법칙]]이 성립하므로 \(H\)의 원소 사이에도 결합법칙이 성립한다. 한편, \(H\)는 공집합이 아니므로 \(H\)의 원소를 하나 선택할 수 있다. 이 원소를 \(h\)라고 하자. 그러면 조건에 의해 <math>hh^{-1}=e_G\in H</math>, 즉 <math>e_G\in H</math>이다. 따라서 \(H\)의 [[항등원]]이 존재하고 그 항등원은 \(e_G\)이다. \(H\)의 임의의 원소를 \(x\)라 하면, 조건에 의해 <math>ex^{-1}=x^{-1}\in H</math>이므로 \(H\)의 원소의 [[역원]]은 \(H\)에 존재한다. 임의의 <math>x,y\in H</math>에 대해 <math>y^{-1}\in H</math>이므로 <math>x(y^{-1})^{-1}=xy\in H</math>이다. 따라서 \(H\)는 \(G\)의 연산에 대해 닫혀 있다. 따라서 \(H\)는 군의 정의를 만족하고 \(G\)의 부분군이 됨을 알 수 있다.

== 2단계 부분군 판정법 ==
=== 진술 ===
군 \(G\)와 공집합이 아닌 부분집합 \(H\)가 주어졌다고 하자. 이때
# <math>a,b\in H</math>이면 <math>ab\in H</math>이다.
# <math>a\in H</math>이면 <math>a^{-1}\in H</math>이다.
그러면 \(H\)는 \(G\)의 부분군이다.

=== 증명 ===
조건에 의해 \(H\)가 \(G\)의 연산에 대해 닫혀 있고 역원이 \(H\)에 존재함을 안다. 결합법칙은 \(G\)로부터 물려받는다. 따라서 증명할 것은 항등원이 존재함을 보이는 것이다. \(H\)가 공집합이 아니므로 <math>h\in H</math>를 선택할 수 있다. 그러면 조건에 의해 <math>h^{-1}</math>가 존재하고 <math>hh^{-1}=e_G\in H</math>이다. 따라서 \(H\)의 항등원이 존재하고 원하는 결론을 얻는다.

== 유한군의 부분군 판정법 ==
만약 군의 부분집합이 [[유한집합]]이라면 부분군 판정법은 일반적인 경우보다 간단해진다.
=== 진술 ===
군 \(G\)의 공집합이 아닌 유한부분집합 \(H\)가 주어졌을 때, \(H\)가 \(G\)의 연산에 대해 닫혀 있다면, \(H\)는 \(G\)의 부분군이다.

=== 증명 1 ===
2단계 부분군 판정법에 의해 증명할 것은 \(H\)의 임의의 원소에 대해 역원이 \(H\)에 존재한다는 것뿐이다. \(H\)가 \(G\)의 연산에 대해 닫혀 있으므로, 임의의 <math>a\in H, k\in \mathbb{N}</math>에 대해 <math>a^k\in H</math>이고, \(H\)가 유한집합이므로 이들이 모두 다를 수는 없다. 따라서 <math>a^i=a^j</math>인 서로 다른 <math>i,j\in\mathbb{N}</math>가 존재하므로 <math>a^n =e_G</math>인 <math>n\in \mathbb{N}</math>가 존재하고(예를 들어 <math>n=\left|i-j\right|</math>), 식을 고쳐 쓰면 <math>a a^{n-1} = e_G = a^{n-1} a</math>이다. 물론 <math>a^{n-1}\in H</math>이므로 원하는 결론을 얻는다.

=== 증명 2 ===
위 증명은 결국 임의의 <math>a\in H</math>에 대해 <math>a</math>를 계속 곱하다 보면 언젠가 <math>e_G</math>가 나온다는 것인데, <math>H</math>의 모든 원소에 대해 <math>a</math>를 한 번만 곱하는 함수 딱 하나를 생각하여 좀 더 고급지게(?) 증명할 수 있다(속에 든 내용은 거의 똑같다).

즉 <math>a</math>를 왼쪽<ref>오른쪽에 곱해도 아무 상관 없다.</ref>에 곱하는 함수 <math>\lambda_a : H \to H,\; x \mapsto ax</math>를 생각하면, 이 함수는 당연히 단사함수이고(<math>G</math>의 등식 <math>ax=ay</math>의 양변에서 <math>a</math>를 소거하면 된다), 따라서 이 함수는 전단사함수이다(<math>H</math>는 유한집합이므로).

따라서 <math>ax=a</math>인 원소, 즉 <math>x=e_G</math>(<math>G</math>의 등식 <math>ax=a=a e_G</math>의 양변에서 <math>a</math>를 소거하면 된다)가 <math>H</math>에 존재하고, 또 <math>ay=e_G</math>인 원소, 즉 <math>y=a^{-1}</math>(<math>G</math>의 등식 <math>ay=e_G=a a^{-1}</math>의 양변에서 <math>a</math>를 소거하면 된다) 역시 <math>H</math>에 존재한다.

[[분류:군론]]
[[분류:수학 정리]]

{{주석}}