정의
양수 [math]\displaystyle{ p,q }[/math]에 대해, 정적분
- [math]\displaystyle{ B(p,q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx }[/math]
를 베타함수(beta function)라고 한다.
성질
- [math]\displaystyle{ B(p,q)=B(q,p) }[/math]
- [math]\displaystyle{ B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ B(p,q)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}2(\sin\theta)^{2p-1}(\cos\theta)^{2q-1} d\theta }[/math]
- [math]\displaystyle{ B(p,q)=\int_0^{\infty} \frac{y^{p-1}}{(1+y)^{p+q}}dy }[/math]