로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! '''베주 항등식'''(Bézout's identity)은 두 [[정수]]와 그 [[최대공약수]]의 연관성을 나타내는 등식이다. == 진술 == 적어도 하나가 0이 아닌 <math>a,b\in\mathbb{Z}</math>에 대해 <math>\gcd(a,b)=d</math>이면 <math>d=au+bv</math>를 만족하는 <math>u,v\in \mathbb{Z}</math>가 존재한다. 또한 ''d''는 <math>au+bv</math> 꼴로 나타낼 수 있는 최소의 양의 정수이다. === 증명 === [[집합]] ''S''를 다음과 같이 정의하자. : <math>S=\{ax+by: x,y\in \mathbb{Z},ax+by\ge 0\}</math> 그러면 <math>S\subseteq \mathbb{N}</math>이고 <math>a\ne 0</math> 또는 <math>b\ne 0</math>이므로 <math>a^2+b^2>0</math>이다. 따라서 <math>a^2+b^2\in S</math>이므로, ''S''는 [[공집합]]이 아니다. 따라서 [[정렬순서공리]]에 의해 ''S''의 양의 최소원소가 존재한다. 이 원소를 ''t''라 하자. 그러면 <math>t=au+bv</math>를 만족하는 <math>u,v\in \mathbb{Z}</math>가 존재한다. 한편 [[나눗셈 정리]]에 의해 : <math>a=tq+r</math> 인 <math>q,r\in \mathbb{Z}</math>이 존재하고 이때 <math>0\le r < t</math>이다. 따라서 : <math>r=a-tq=a-(au+bv)q=a(1-uq)+b(vq)</math> 이다. 따라서 <math>r\in S</math>인데, ''S''의 최소원소가 ''t''이므로 <math>r< t</math>이다. 그런데 ''r''이 양수라면 ''t''가 ''S''의 양의 최소원소라는 것에 모순이므로 <math>r=0</math>이어야 한다. 따라서 <math>a\mid t</math>이다. 마찬가지 방법으로 <math>b\mid t</math>임을 보일 수 있다. <math>c\in \mathbb{Z}</math>가 <math>c\mid a</math>이고 <math>c \mid b</math>라고 하자. 그러면 <math>a=ck</math>이고 <math>b=cl</math>인 <math>k,l\in\mathbb{Z}</math>가 존재한다. 따라서 : <math>t=au+bv=(ck)u+(cl)v=c(ku+lv)</math> 이므로 <math>c\mid t</math>이다. <math>t>0</math>이므로, <math>c\le t</math>이다. 따라서 ''t''는 ''a''와 ''b''의 최대공약수이므로 <math>t=d</math>이다. === 명제의 역 === <math>d=1</math>이라면 <math>\gcd(a,b)=1</math>과 <math>1=au+bv</math>를 만족하는 <math>u,v\in\mathbb{Z}</math>가 존재한다는 것은 동치이다. 정수 ''a'',''b''에 대해 <math>1=au+bv</math>를 만족하는 <math>u,v\in \mathbb{Z}</math>가 존재한다고 가정하자. 그러면 <math>1\in S</math>이다. <math>\gcd(a,b)=d</math>라고 하면 ''d''는 ''S''의 양의 최소원소이므로 <math>d\le 1</math>이어야 한다. 최대공약수의 정의에 의해 <math>d\ge 1</math>이므로, <math>d=1</math>이다. <math>d\ge 2</math>라면 정리의 역은 성립하지 않는다. == 일반화 == === 셋 이상의 정수 === <math>a_1,a_2,\cdots,a_n</math>이 적어도 하나는 영이 아닌 정수이고 <math>\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)=d</math>라고 하자. 그러면 <math>d=a_1u_1+a_2u_2+\cdots+a_nu_n</math>인 <math>u_1,u_2,\cdots,u_n\in \mathbb{Z}</math>이 존재한다. === 다항식환 === [[체 (수학)|체]] ''F''와 <math>a(x),b(x)\in F[x]</math>에 대해 <math>a(x)</math>와 <math>b(x)</math> 중 하나는 영이 아니라고 하자. 그러면 <math>a(x)</math>와 <math>b(x)</math>의 최대공약수 <math>d(x)\in F[x]</math>가 존재하고 <math>d(x)=a(x)u(x)+b(x)v(x)</math>인 <math>u(x),v(x)\in F[x]</math>가 존재한다. === 추상화 === [[주 아이디얼 정역]]에서는 베주 항등식이 항상 성립한다. 베주 항등식이 성립하는 [[정역]]을 [[베주 정역]]이라 한다. == 참고문헌 == * 김응태 · 박승안(2012), 『정수론』 (제8판), 경문사. {{ISBN|9788961055956}} * Hungerford, T. (2014). ''Abstract algebra: An introduction'' (3rd ed., International ed.). Australia: Brooks/Cole Cengage Learning. {{ISBN|1111573336}} [[분류:정수론]] [[분류:추상대수학]] [[분류:항등식]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ISBN (원본 보기) (준보호됨)