로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! Bernoulli's Inequality == 개요 == [[해석학]]을 배울 때 반드시 배우게 되는 [[부등식]]. 야곱 베르누이 (Jacob Bernoulli)가 1689년에 처음 발표하였다. 이 부등식은 <math>\left(1+x\right)^r</math>를 일차함수로 근사할 때 사용하며, [[수학의 정석]]에도 나와있을 정도로 유명하다. 자세한 정리는 아래와 같다. {{인용문2|<math>\left(1+x\right)^r\geq1+rx</math>, 단 <math>x\geq-1</math>인 [[실수]], <math>r\geq0</math>인 [[정수]].}} 만약 조건을 조금 더 강화시켜 등호를 없앤다면 다음과 같다. {{인용문2|<math>\left(1+x\right)^r>1+rx</math>, 단 <math>x\geq-1,\,x\neq0</math>인 [[실수]], <math>r\geq2</math>인 [[정수]].}} 증명은 [[수학적 귀납법]]을 사용하는 것이 일반적이다. == 증명 == 수학적 귀납법: 1. <math>r=0</math>일 때, <math>\left(1+x\right)^0\geq1+0\cdot x \Leftrightarrow 1\geq1</math>이므로 성립. 2. <math>r=k</math>일 때 성립한다 가정하자. 그럼, <math>\left(1+x\right)^k\geq1+kx</math>. 한편, <math>\left(1+x\right)^{k+1}=\left(1+x\right)^k\cdot\left(1+x\right)\geq\left(1+kx\right)\left(1+x\right)=1+kx+x+kx^2=1+\left(k+1\right)x+kx^2\geq1+\left(k+1\right)x</math>이므로 <math>r=k+1</math>일 때도 성립. i. ii.에 의하여 <math>r\geq0</math>인 모든 [[정수]] <math>r</math>에 대해 [[부등식]]이 성립한다. 직접 증명법: 이항전개해서 비교한다. (이건 r이 정수일 때나 통하지 정수 아니면 일반적으로 이항전개는 안 먹히므로 위의 방법이 조금은 더 실용적이다.) == 확장 == 위 부등식으로는 <math>\left(1+x\right)^r</math>를 근사하는 게 가능하나, 원래 식보다 '''작은'''값으로 밖에 추정을 못한다. 원래 식보다 '''큰'''값으로 추정을 하기 위해선 [[자연상수]]를 활용한다. 곧, {{인용문2|<math>\left(1+x\right)^r\leq e^{rx}</math>}} 이다. 증명은 <math>\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}< e</math>임을 이용하여 간단하게 증명이 가능하다. 이제 이 부등식과 원래 부등식을 합치면, {{인용문2|<math>1+rx\leq\left(1+x\right)^r\leq e^{rx}</math>}} 가 되고, 이는 <math>\left(1+x\right)^r</math>의 근사값을 아주 간단하게 추정할 수 있게 만들어 준다. 그런데 만약 <math>r</math>이 [[정수]]가 아니라 [[실수]]라면? 이 때도 같은 부등식이 성립하나 <math>r</math>의 범위에 따라 부등호의 방향이 달라진다. ><math>x\geq-1</math>일 때, <math>\begin{cases} \left(1+x\right)^r\geq1+rx\quad & \text{ if }r\geq1,\,r\leq0 \\ \left(1+x\right)^r\leq1+rx\quad & \text{ if }0\leq r\leq1\end{cases}</math> 증명은 [[미분]]을 이용하여 간단하게 할 수 있으니 직접 해보자. == 관련 항목 == * [[수치해석]] * [[해석학]] [[분류:부등식]] [[분류:해석학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:인용문2 (원본 보기) (준보호됨)