방향도함수 편집하기

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== 정의 ==

[[함수 (수학)|함수]] <math>f:A \subseteq \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</math>(단, ''m''은 '''2 이상'''의 양의 정수<ref>2 이상이어야 '''방향'''도함수를 말하는 의미가 있다.</ref>)을 생각하자.

<math>A</math>의 내부점(interior point) <math>\mathbf{x} \in \operatorname{int} A</math>에서, 영이 아닌<ref>단위벡터로만 제한하는 책도 있다.</ref> <math>\mathbf{u}\in \mathbb{R}^m</math>에 대하여 다음 극한
: <math>\lim_{t\to 0}\frac{f(\mathbf{x}+t\mathbf{u})-f(\mathbf{x})}{t}</math>
이 존재하면, 이를 '''<math>\mathbf{x}</math>에서의 <math>\mathbf{u}</math>에 대한 <math>f</math>의 방향도함수(directional derivative of <math>f</math> at <math>\mathbf{x}</math> along the vector <math>\mathbf{u}</math>)''' 또는 '''<math>\mathbf{x}</math>에서의 <math>\mathbf{u}</math> 방향의 <math>f</math>의 방향도함수(directional derivative of <math>f</math> at <math>\mathbf{x}</math> in the direction <math>\mathbf{u}</math>)'''라고 하고, <math>f'(\mathbf{x};\mathbf{u})</math>로 표기한다.

이러한 정의는 일변수함수의 미분을 이용한 다음 정의
: <math>f'(\mathbf{x};\mathbf{u}) = \left. \frac{d}{dt} f(\mathbf{x}+t\mathbf{u}) \right|_{t=0}</math>
와 동치임을 쉽게 확인할 수 있다.

== 방향도함수의 성질 ==

만약 <math>f</math>가 <math>\mathbf{x}</math>에서 미분가능하면 <math>\mathbf{x}</math>에서 <math>f</math>의 모든 방향도함수가 존재하고
: <math>f'(\mathbf{x};\mathbf{u})=Df(\mathbf{x})\cdot \mathbf{u}</math>
이다. 그 역은 성립하지 않는다.

만약 <math>\mathbf{u} = k\mathbf{v}</math>이면
: <math>f'(\mathbf{x};\mathbf{u})=kf'(\mathbf{x};\mathbf{v})</math>
이다.

== 이름에 대하여 ==

이름에 대해 의문을 가질 수 있는데, 우리가 일변수함수 <math>f:A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>가 ''x''에서 미분가능할 때 <math>\lim_{t\to 0}\frac{f(x+t)-f(x)}{t}</math>는 도함수라기보다 '''미분계수'''라고 했고, 각 ''x''에 대해 그 점에서의 미분계수를 대응시키는 함수라야 '''도함수'''라고 하였기 때문이다. 즉 여기서도 방향도함수라기보다 방향미분계수라고 하여야 하는 것이 아니냐는 것이다.

아마도 일변수함수에서는 ''x'' 근방에서의 함숫값을 가지고 평균변화율의 극한을 구해 보아야 그건 한 점에서의 미분'''계수'''의 값일 뿐으로서 그 점이 아닌 점에서의 극한에는 아무 영향이 없다는 점을 강조하고, 각 점마다 그 점에 대해 그러한 극한값을 생각하여야 비로소 도'''함수'''라는 함수를 상정할 수 있다는 점을 강조하기 위해 (특별히 고등학교) 교육과정에서는 이처럼 다른 이름을 가르쳐 주는 듯하나,

결국 미분계수라는 게 그 점에서의 도함수의 함숫값과 같게 되는 점, 일변수함수에서의 많은 경험을 한 이제 와서는 그냥 ‘도함수’라는 이름을 혼용해도 별 혼동은 없을 것이라는 점, 특히 영어에서는 어떤 함수의 이름을 그 함수 자체로도 또 함숫값으로도 쓰는 것이 전혀 어색하지 않다는 점에서 그냥 방향도함수(directional derivative)라고 뭉뚱그려 일컫는 듯하다.

== 같이 보기 ==
* [[도함수]]

[[분류:미적분학]]
[[분류:해석학]]

{{주석}}