방정식

간단한 소개

Find x. 찾았다! 문서 끝!

간단히 말하자면 어떤 x를 찾는 것이다.

정의

방정식이란 미지수의 값에 따라서 참이 되거나 거짓이 되는 등식이다.

예시를 들어보자. x³−3x+2=0이라는 식은 x=1 또는 −2일 때는 참이지만, 예를 들어 x=0일 때는 거짓이다. 따라서 방정식이다. 이때, 방정식이 참이 되게 하는 값을 방정식의 해 또는 근이라고 한다. 위의 방정식의 해는 1(중근) 또는 −2다.

주의할 점은 항상 참이거나, 항상 거짓인 경우 역시 방정식이라는 것이다. 전자의 경우를 항등식이라고 하며, 후자의 경우를 불능이라 한다. 항등식의 예는 (x+1)²=x²+2x+1, x=x 등이 있으며, 불능의 경우는 x=x−1, 0x=1 등이 있다.

왜 중요한가?

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방정식의 종류

다항방정식

다항방정식은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.

[math]\displaystyle{ \definecolor{ers}{RGB}{81,64, 242} \color{ers}{\sum_{i=0}^{n}{{a}_{i}}^{i}} }[/math].

이때, a_i가 0이 아닌 i 중에서 가장 큰 i의 값을 n이라고 하자. 그러면 이 다항방정식을 n차 방정식이라고 한다.

그러면, 다항방정식은 어떻게 푸는가? ab=0이라면, a=0 또는 b=0이라는 것에서 착안하여 다항식을 인수분해한다. 편의상 최고차항의 계수를 1이라고 하면, (x-α)(x-β)...(x-η)=0 그러면 x=α 또는 β 또는 ... η이 된다.

흥미로운 점은 4차 이하의 방정식은 일반적인 풀이법이 존재하지만, 5차 이상의 방정식은 그렇지 않다. 그러나, 이것이 해가 존재하지 않음을 의미하는 것은 아니다. 1차 이상의 모든 (복소계수) 다항방정식은 복소수 범위에서 항상 해가 존재한다. 이를 대수학의 기본정리라고 한다.

분수방정식

각 항을 모두 정리하여 f(x)=0꼴로 만들었을 때, 분모에 미지수가 포함되어 있는 분수식을 말한다. 예를 들면

[math]\displaystyle{ \frac {1}{x}-\frac {1}{x-2}=0. }[/math]

그러면 분수방정식은 어떻게 푸는가? 각 항의 분모의 최소공배수를 양 변에 곱하여 다항방정식으로 고쳐서 푼다. 그러면 분수방정식은 다항방정식과 차이점이 무엇인지 의문이 들 수 있다.

결정적 차이점은 무연근이 존재할 수 있다는 것이다. 무연근이란, 풀기 편한 형태로 바꾼 방정식(위에선, 최소공배수를 곱해 만든 다항방정식)에선 해가 되지만, 원래의 방정식에선 해가 되지 않는 값인데, 예시를 들어보자. 1/x=1/x(x+1)이라는 방정식을 풀기 위해 양 변에, x(x+1)을 곱하면, x(x+1)=x가 된다. 분배법칙을 써서 괄호를 풀고, x를 이항하면, x²=0가 되어, x=0이 해가 된다. 하지만 원래의 방정식 1/x=1/x(x+1)의 해는 되지 않는데, 분모를 0으로 만들기 때문이다.

무리방정식

각 항을 모두 정리하여, f(x)=0꼴로 만들었을 때, 무리식이 포함되는 경우다. 예를 들면 sqrt(x-2)+x=8.

그러면 무리방정식은 어떻게 푸는가? 적당히 거듭제곱을 취해서 거듭제곱근을 제거, 즉 다항방정식 형태로 만들어 푼다. 무리방정식의 경우도 분수방정식처럼 무연근이 존재할 수 있다.

함수방정식

위의 경우들은 모두 x에 대한 어떤 실수나 복소수 값들을 구했다. 함수방정식은 어떤 값이 함수인 경우다. 예를 들어보자. f(x+y)=f(x)f(y)라는 방정식은 f(x)=a^x일 때 참이 된다. 함수방정식에도 역시 종류가 여러 가지 있는데, 그 중 특히 중요한 것은 미분방정식이다. 미분방정식이 중요한 이유는 많은 물리학 법칙들이 미분의 형태로 나타나기 때문이다.

그 외의 여러 방정식들

• 부정방정식 : 해가 무수히 많은 방정식을 부정방정식이라고 한다. 대표적인 부정방정식은 x=2y가 있다.

• 연립방정식 : 여러 방정식이 동시에 묶여 있는 경우다. 이때, 연립방정식의 해는 방정식들을 모두 참으로 만드는 것으로 정의된다. 예를 들어 다음과 같다.

  [math]\displaystyle{ \begin{cases} x+y=2\\ x=2 \end{cases} }[/math]

이 방정식의 해는 x=2, y=0이 된다. 특히, 이 연립방정식의 각 방정식들이 모두 일차방정식일 때를 주로 연구하는 것이 선형대수학이다.

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