방멱의 정리 편집하기

한국의 수학 교육과정상 중학교 때 배우게 되는 기하학 정리. 다만 [[교과서]]에는 방멱의 정리라는 알아 듣기 힘든 이름 대신 '''원과 직선에 관한 정리'''라는 이름으로 배우게 된다. 여기서 방멱(方冪)이란, 어떤 한 점 <math>P</math>를 지나는 직선이 어떤 원 <math>O</math>와 만나는 점을 <math>A, B</math>라 했을 때, 두 선분의 곱 <math>\overline{PA}\times\overline{PB}</math>를 가리킨다. 방멱의 정리는 크게 세 가지가 있다. 세 가지 모두 평면기하학 관련 문제에서 의외로 자주 쓰이므로 잊어버리지 않도록 하자.

== 두 현에 대한 방멱 ==
[[파일:방멱의 정리 1.png]]
{{인용문|두 현 <math>\overline{AB},\overline{CD}</math>의 교점을 <math>P</math>라 하자. 그러면 <math>\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PC}\times\overline{PD}</math>가 성립한다.}}

증명
{{인용문2|<math>\angle{ACP}=\angle{DBP}</math> (호 <math>\overarc{AD}</math>에 대한 원주각)
<math>\angle{CAP}=\angle{BDP}</math> (호 <math>\overarc{BC}</math>에 대한 원주각)
<math>\therefore\triangle{APC}\sim\triangle{DPB}</math> (AA 닮음)
<math>\overline{PA}:\overline{PD}=\overline{PC}:\overline{PB}</math>
<math>\therefore\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PC}\times\overline{PD}</math>}}

== 두 할선에 대한 방멱 ==
[[파일:방멱의 정리 2.png]]
{{인용문|두 할선 <math>\overleftrightarrow{AB},\overleftrightarrow{CD}</math>의 교점을 <math>P</math>라 하자. 그러면 <math>\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PC}\times\overline{PD}</math>가 성립한다.}}

증명
{{인용문2|<math>\angle{PBC}=\angle{PDA}</math> (호 <math>\overarc{AC}</math>에 대한 원주각)
<math>\angle{BPD}</math> 공통
<math>\therefore\triangle{PBC}\sim\triangle{PDA}</math> (AA 닮음)
<math>\overline{PB}:\overline{PD}=\overline{PC}:\overline{PA}</math>
<math>\therefore\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PC}\times\overline{PD}</math>}}

== 할선과 접선에 대한 방멱 ==
[[파일:방멱의 정리 3.png]]
{{인용문|할선 <math>\overleftrightarrow{AB}</math>와 원 <math>O</math>의 접선 <math>\overleftrightarrow{PT}</math>가 점 <math>P</math>에서 만난다고 하자. 그러면 <math>\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PT}^2</math>가 성립한다.}}

증명
{{인용문2|<math>\angle{PTA}=\angle{PBT}</math> (접현각)
<math>\angle{TPB}</math> 공통
<math>\therefore\triangle{PTA}\sim\triangle{PBT}</math> (AA 닮음)
<math>\overline{PT}:\overline{PB}=\overline{PA}:\overline{PT}</math>
<math>\therefore\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PT}^2</math>}}

== 방멱의 정리의 역 ==
[[피타고라스 정리]]의 역과 비슷하게 방멱의 정리에도 역이 있다.
{{인용문|두 선분 <math>\overline{AB},\overline{CD}</math> 혹은 그 연장선의 교점 <math>P</math>에 대해서 <math>\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PC}\times\overline{PD}</math>가 성립하면 네 점 <math>A,B,C,D</math>는 공원점이다.}}
증명은 의외로 간단한데, 위 식을 비례식으로 바꿔준 뒤, 두 [[삼각형]]이 [[닮음]]이란 것을 보이고,(<math>P</math>가 두 선분의 교점이냐 연장선의 교점이냐에 따라서 닮음인 삼각형이 달라진다.) 원주각이 성립함을 보이면 끝.

== 같이 보기 ==
* [[원 (도형)]]
* [[닮음]]

{{각주}}
[[분류:기하학]]
[[분류:수학 정리]]