모델 (기하학) 편집하기



== 개요 ==
고대 그리스의 수학자 [[유클리드]]가 현재의 [[유클리드 기하학]]의 토대를 다진 뒤, 거의 2천년 동안 기하학이란 학문은 유클리드가 제시한 [[공리]]와 공준에 의해 잘 굴러가고 있었다. 물론, 그 기간 중에는 유클리드가 제시한 공준의 당위성을 따지려는 노력이 있었고, 하나 둘 씩 공준의 당위성이 보여졌다. 딱 하나, 유클리드의 제 5공준, 혹은 '''평행선 공준'''이라고 부르는 것만 빼고.

이 평행선 공준은 19세기에 가서야 반드시 성립할 필요가 없다는 사실이 밝혀졌고, {{ㅊ|유클리드의 2천년에 걸친 낚시의 위엄}} 유클리드 기하학이 알파이자 오메가였던 기하학은 [[쌍곡 기하학]], [[유클리드 기하학]], [[타원 기하학]]으로 쪼개지게 되었다. 이 유클리드 공리·공준 체계의 불완전성은 자연히 수학자들로 하여금 완벽한 공리 체계를 갖춘 기하학, 좀 더 일반적으로는 수학 그 자체를 세우려고 했으며, 그 중심에는 [[힐베르트]]가 있었다. 힐베르트는 추상적인 관점에서 연역 체계를 갖춘 "메타 수학"을 완성시키려고 노력했었으며, 그 일환으로 [[1899년]]에 그가 출판한 "기하학 기초론"에서 유클리드 기하학의 불완전성을 보완한 '''[[결합 기하학]](Incidence Geometry)'''을 제시하였다.

현대의 관점에서 보면, [[결합 기하학]]은 기하학의 '''모델(Model)''' 중 하나이지만, [[타원 기하학]]을 제외하고는 거의 다른 모든 기하학의 기반이 된다 (정확히는 결합 기하학의 공리를 취하는 '''[[절대 기하학]](Absolute Geometry, Neutral Geometry)'''.

== 정의 ==
임의의 공리 체계에는 정의되지 않은 용어인 '''무정의 용어'''와, 정의되지 않은 용어들 사이의 '''관계'''가 존재한다. [[기하학]]에서 무정의 용어는 점, 선, 면, 원 등등이 있고, 관계로는 [[공선점]], [[합동]], [[공원점]], [[평행]], ~사이에 있다, ~위에 있다 등등이 존재한다. 또한, 공리 체계에는 증명 없이 참으로 받아들이는 '''[[공리]](Axiom)'''와 '''공준(Postulate)'''이 존재하며, '''정리(Theorem)'''는 공리와 공준만을 사용해서 도출될 수 있는 [[명제]]를 말한다.

이제, 무정의 용어에 의미를 부여하는 것을 '''해석(Interpretation)'''이라 하며, 만약 해석이 특정 시스템(여기서는 기하학)의 공리들을 만족한다면, 그 해석 시스템을 해당 기하학의 '''모델(Model)'''이라고 부른다.

뭔가 거창하게 설명했지만, 모델은 간단히 말하면 "무정의 용어에 뜻을 줬을 때, 주어진 조건을 만족하냐?"를 체크하는 것이라고 생각하면 된다. 구체적인 예시를 원한다면 [[결합 기하학]]을 참고하자.

== 관련 항목 ==
*[[결합 기하학]]
*[[절대 기하학]]
*[[타원 기하학]]

[[분류:기하학]]