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Menelaus' Theorem == 개요 == 그리스의 수학자이자 천문학자인 메넬라우스가 증명한 초등적 유클리드 기하학의 정리. 학교에서는 배우지 않지만, [[수학 경시대회]]를 준비한다면 반드시 거쳐가야할 과정 중 하나. 보통 [[체바의 정리]]와 함께 배운다. 참고로 메넬라우스의 정리, 그 자체만을 사용하는 문제보다는 하나의 과정으로 사용하는 경우가 많다. 변의 길이의 비를 구하거나, [[공선점]] 여부를 파악할 때 등. == 정리 == [[파일:메넬라우스의 정리.png]] 직선 <math>l</math>과 <math>\triangle{ABC}</math>의 세 변, 혹은 그 연장선과 각각 <math>D,E,F</math>에서 만나면, <math>\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}\cdot\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\cdot\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}=1</math>이 성립한다. 역으로, 한 직선과 삼각형의 세 변에 대해 위 식이 성립하면, 점 <math>D,E,F</math>는 [[공선점]]이다. 참고로 직선 <math>l</math>이 삼각형의 세 변과 만나지 않고, 연장선과만 만나도 상관없다. 하지만 증명엔 별 차이 없다. === 증명 === 꼭짓점 <math>A,B,C</math>에서 직선 <math>l</math>에 내린 수선의 발을 각각 <math>X,Y,Z</math>라 하자. 그럼, <math>\triangle{AEX}\sim\triangle{CEZ},\,\triangle{CDZ}\sim\triangle{BDY},\,\triangle{BFY}\sim\triangle{AFX}</math>임을 쉽게 보일 수 있다 (AA 닮음). 따라서, :<math>\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}\cdot\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\cdot\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}=\frac{\overline{AX}}{\overline{BY}}\cdot\frac{\overline{BY}}{\overline{CZ}}\cdot\frac{\overline{CZ}}{\overline{AX}}=1</math> 이다. 역으로 <math>\overline{DE}</math>의 연장선이 변 <math>\overline{AB}</math>, 혹은 그 연장선과 만나는 점을 <math>F'</math>라 하면, 메넬라우스의 정리에 의해 <math>\frac{\overline{AF'}}{\overline{F'B}}\cdot\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\cdot\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}=1</math>이 성립한다. 한편, <math>\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}\cdot\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\cdot\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}=1</math>도 성립하므로, 두 식을 비교하면, <math>\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}=\frac{\overline{AF'}}{\overline{F'B}}</math>이다. 이는 곧, 두 점 <math>F,F'</math>가 선분 <math>\overline{AB}</math>를 같은 비로 내분/외분함을 의미한다. 즉, <math>F,F'</math>는 일치하고, 세 점 <math>D,E,F</math>는 [[공선점]]이다. 이 증명법은 가장 대표적인 증명법으로, 학원가에서는 보통 이 방법으로 가르친다. 하지만 일부 {{ㅊ|변태}} 수학자들은 넓이비, [[벡터]], 비조화비 등 다양한 방법으로 증명을 한다. 물론 초등 기하인 만큼 전부 간단하다. == 삼각함수 == 위 그림의 <math>\triangle{AFE},\triangle{BFD},\triangle{CDE}</math>에 각각 [[사인 법칙]]을 적용하면, :<math>\frac{\overline{AF}}{\overline{EA}}=\frac{\sin\angle{AEF}}{\sin\angle{EFA}},\,\frac{\overline{BD}}{\overline{FB}}=\frac{\sin\angle{DFB}}{\sin\angle{BDF}},\,\frac{\overline{CE}}{\overline{DC}}=\frac{\sin\angle{CDE}}{\sin\angle{DEC}}</math> 가 성립한다. 또한, <math>\sin\angle{AEF}=\sin\angle{DEC},\,\sin\angle{DFB}=\sin\angle{EFA},\,\sin\angle{CDE}=\sin\angle{BDF}</math>가 성립하므로, 이를 메넬라우스의 정리에 전부 대입하면, :<math>\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}\cdot\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\cdot\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}=\frac{\overline{AF}}{\overline{EA}}\cdot\frac{\overline{BD}}{\overline{FB}}\cdot\frac{\overline{CE}}{\overline{DC}}=\frac{\sin\angle{AEF}}{\sin\angle{EFA}}\cdot\frac{\sin\angle{DFB}}{\sin\angle{BDF}}\cdot\frac{\sin\angle{CDE}}{\sin\angle{DEC}}=1</math> 임을 알 수 있다. 따라서, [[삼각함수]] 버전의 메넬라우스의 정리를 얻을 수 있고, 정리하면 아래와 같다. 직선 <math>l</math>이 <math>\triangle{ABC}</math>의 세 변, 혹은 그 연장선과 각각 <math>D,E,F</math>에서 만나면, <math>\frac{\sin\angle{AEF}}{\sin\angle{EFA}}\cdot\frac{\sin\angle{DFB}}{\sin\angle{BDF}}\cdot\frac{\sin\angle{CDE}}{\sin\angle{DEC}}=1</math>이 성립한다. 역으로 위의 식이 성립하면, <math>D,E,F</math>는 [[공선점]]이다. == 활용 == 메넬라우스의 정리를 배운 학생들은 도대체 이게 어디서 활용되는지 모르는 경우가 많다. 아래는 메넬라우스의 정리를 활용한 문제의 예시로, 증명은 생략한다. *[[공선점]] 문제 **데자르그의 정리 **파스칼의 정리 **파푸스의 육각형 정리 *길이의 비 **삼각형의 [[무게중심]]은 중선을 2:1로 나눈다. == 관련 항목 == *[[삼각형]] *[[공선점]] *[[체바의 정리]] [[분류:기하학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · 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