르장드르 기호 편집하기

{{학술}}

== 정의 ==
\(p\)가 3 이상의 [[소수]]이고 \(a\)가 \((a,p)=1\)인 [[정수]]일 때, 다음 기호
:<math>\left(\frac{a}{p}\right)=\begin{cases}
1,& (\exists x\in \mathbb{Z})[x^2 = a]\\
-1,& (\forall x\in\mathbb{Z})[x^2\ne a]
\end{cases}</math>
를 '''르장드르 기호(Legendre symbol)'''라고 한다. 즉, \(a\)가 법 \(p\)에 대한 [[이차잉여]]이면 \(\left(\frac{a}{p}\right)=1\)이고 그렇지 않으면 \(\left(\frac{a}{p}\right)=-1\)이다.

== 기본 성질 ==
\(p,q\)가 서로 다른 3 이상의 소수이고 정수 \(a,b\)에 대해 \((a,p)=(b,p)=1\)일 때,
#\(\left(\frac{a^2}{p}\right)=1\)
#:\(x=a\)는 합동식 \(x^2\equiv a^2\pmod p\)의 해이므로 자명하다.
#\(a\equiv b \pmod p\)이면 \(\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right)\)이다.
#:\(a\equiv b \pmod p\)라고 가정하면 두 합동식 \(x^2\equiv a\pmod p\)와 \(x^2\equiv b\pmod p\)는 동치이므로 원하는 결론을 얻는다.
#\(\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)\)
#:[[최대공약수]]의 성질에 의해 \((ab,p)=1\)이므로, [[지수법칙]]에 의해 <math>\left(\frac{ab}{p}\right)=(ab)^{\frac{p-1}{2}}=a^{\frac{p-1}{2}}b^{\frac{p-1}{2}}=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)</math>이므로 원하는 결론을 얻는다. 여기서 르장드르 기호는 완전 [[곱셈적 함수]]임을 알 수 있다. 좀 더 엄밀히 표현하면, <math>L:{\mathbb{F}_p}^\times\to\left\{\pm1\right\}</math>가 완전 곱셈적 함수인 것.
한 예로, \(\left(\frac{860}{103}\right)\)의 값을 구해 보자. 103은 소수이고,
:<math>860=8\cdot 103 + 36</math>
이므로 \(860 \equiv 36 \pmod{103}\)이다. 따라서
:<math>\left(\frac{860}{103}\right)=\left(\frac{36}{103}\right)</math>
이다. 그런데 \(36=6^2\)이므로
:<math>\left(\frac{860}{103}\right)=\left(\frac{36}{103}\right)=1</math>
임을 알 수 있다.

== 오일러 판정법 ==
[[오일러의 규준]]이라고도 부른다.
*<math>\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod p</math>
*:<math>x_1,\ldots. x_{\frac{p-1}{2}}</math>를 법 \(p\)의 [[이차잉여]]라 하자. <math>a</math>가 이차잉여인 경우 <math>\{ax_1,\ldots, ax_{\frac{p-1}{2}} \} </math>는 집합으로서 <math>\{x_1,\ldots, x_{\frac{p-1}{2}} \}</math> 와 일치할 것이다. 따라서 모든 원소의 곱도 일치하고, <math> a^{\frac{p-1}{2}} x_1\cdots x_{\frac{p-1}{2}} \equiv x_1\cdots x_{\frac{p-1}{2}} \pmod{p} </math>가 성립한다. 양변을 소거하면 오일러의 규준을 얻는다.
*:<math>a</math> 가 이차잉여가 아닐 경우, <math>ax_i</math> 들 또한 이차잉여가 아닐 것이고, 마찬가지로 <math> ax_i^{-1}</math> 또한 이차잉여가 아닐 것이다. 따라서 <math> \{x_1,\ldots, x_{\frac{p-1}{2}} \} \cup \{ax_1^{-1} ,\ldots, ax_{\frac{p-1}{2}} ^{-1} \} = \{1,2,\ldots, p-1\}</math> 이다. 모든 원소의 곱을 비교하면 <math>a^{\frac{p-1}{2}} \equiv (p-1)! \equiv -1 \pmod p </math> 를 얻는다. 여기서 마지막 등호는 [[윌슨의 정리]]의 결과이다.
오일러 판정법을 사용해 다음을 보일 수 있다.
*<math>\left(\frac{-1}{p}\right)=\begin{cases}
1,&\text{if }p\equiv 1\pmod 4\\
-1,&\text{if }p\equiv -1\pmod 4
\end{cases}</math>
*:오일러의 규준에 의해 <math>\left(\frac{-1}{p}\right)\equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}\pmod p</math>인데 <math>\left(\frac{-1}{p}\right)=\pm 1</math>이므로 <math>\left(\frac{-1}{p}\right)= (-1)^{\frac{p-1}{2}}</math>이다. \(p\)는 홀수이므로 \(4k+1\) 또는 \(4k-1\) 꼴인데, \((-1)^{2k}=1\)이고 \((-1)^{2k-1}=-1\)이므로 원하는 결론을 얻는다.

== 가우스 판정법 ==
*\(a,\,2a,\,\ldots,\,\left(\frac{p-1}{2}\right)a\)를 법 \(p\)에 관해서 최소 양수 나머지로 바꾸자. 저 중에 \(\frac{p}{2}\)보다 큰 수의 개수를 \(s\)라 할 때, \(\left(\frac{a}{p}\right)=\left(-1\right)^s\)이다.
*:<math>u_1,\,u_2,\,\ldots,\,u_s</math>를 <math>\frac{p}{2}</math>보다 큰 최소 양수 나머지라 하자. 그리고 <math>v_1,\,v_2,\,\ldots,\,v_t</math>를 <math>\frac{p}{2}</math>보다 작은 최소 양수 나머지라 하자. 먼저, <math>\left\{v_1,\,\ldots,\,v_t,\,p-u_1,\,\ldots,\,p-u_s\right\}=\left\{1,\,2,\,\ldots,\,\frac{p-1}{2}\right\}</math>임을 보일 것이다.
*:#먼저, 모든 원소는 1에서 \(\frac{p-1}{2}\)사이.
*:#총 \(\frac{p-1}{2}\)개의 원소가 있다.
*:#만약 <math>v_i\equiv v_j\pmod p</math>이면, 적당한 [[정수]] \(n,\,m\)에 대해 <math>na\equiv ma\pmod p</math>이다. 그런데 <math>\gcd\left(a,p\right)=1</math>이므로 <math>n\equiv m\pmod p</math>이다. 그런데 \(n,\,m\)은 1에서 \(\frac{p-1}{2}\)사이의 정수이므로, \(n=m\)이다. 비슷한 방법으로, <math>p-u_i\equiv p-u_j\pmod p</math>이면 \(i=j\)임을 보일 수 있다. 만약 <math>v_i\equiv p-u_j\pmod p</math>이면, 적당한 정수 \(n,\,m\)에 대해 <math>na\equiv-ma\pmod p</math>이다. 즉, <math>n+m\equiv0\pmod p</math> 그런데 \(n,\,m\)은 1에서 \(\frac{p-1}{2}\)사이의 정수이므로 이는 불가능하다.
*:위 세 명제를 합하면 원하는 결과를 얻는다. 따라서, <math>v_1\cdots v_t\left(p-u_1\right)\cdots\left(p-u_s\right)\equiv1\cdot2\cdots\frac{p-1}{2}\pmod p</math>이고, 정리하면 <math>\left(-1\right)^sv_1\cdots v_t u_1\cdots u_s\equiv\left(\frac{p-1}{2}\right)!\pmod p</math>이다. 여기서 좌변은 <math>\left(-1\right)^sa^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{p-1}{2}\right)!</math>과 합동이고, <math>p\nmid\left(\frac{p-1}{2}\right)!</math>이므로 <math>\left(-1\right)^sa^{\frac{p-1}{2}}\equiv1\pmod p</math>이다. 따라서, 위 오일러 판정법에 의해 <math>\left(-1\right)^s\equiv a^{\frac{p-1}{2}}\equiv\left(\frac{a}{p}\right)\pmod p</math>.
한 예시를 통해 가우스 판정법이 어떻게 쓰이는지 확인해 보자. 만약 <math>a=5,\,p=11</math>이면, \(\frac{p-1}{2}=5\)이고, <math>\left\{a,2a,3a,4a,5a\right\}=\left\{5,10,15,20,25\right\}</math>를 법 11에 관한 최소 양수 나머지로 바꾸면 <math>\left\{5,11,4,9,3\right\}</math>이다. 이중 \(\frac{p-1}{2}=5.5\)보다 큰 수의 개수는 2이다. 따라서, \(s=2\)이고, \(\left(\frac{5}{11}\right)\equiv\left(-1\right)^s\equiv1\pmod p\)이다.

가우스 판정법을 사용하면 2가 어떨 때 이차잉여인지 확인할 수 있다.
*<math>\left\{2,2\cdot2,\cdots,\frac{p-1}{2}\cdot2\right\}</math>는 법 \(p\)에 대해 이미 최소 양수 나머지이다. 또한, <math>i\cdot2<\frac{p}{2}</math>이기 위한 조건은 <math>i<\frac{p}{4}</math>인 것이다. 즉, <math>s=\frac{p-1}{2}-\left\lfloor\frac{p}{4}\right\rfloor</math>. 따라서, <math>\left(\frac{2}{p}\right)=\left(-1\right)^{\frac{p-1}{2}-\left\lfloor\frac{p}{4}\right\rfloor}</math>. 만약 <math>p\equiv\pm1\pmod8</math>이면, 직접 계산을 통해 <math>\left(\frac{2}{p}\right)=1</math>임을 확인할 수 있다. 만약 <math>p\equiv\pm3\pmod8</math>이면, 마찬가지로 <math>\left(\frac{2}{p}\right)=-1</math>임을 확인할 수 있다. 정리하면 다음과 같다.
*<math>\left(\frac{2}{p}\right)=\begin{cases}
1,&\text{if }p\equiv \pm 1\pmod 8\\
-1,&\text{if }p\equiv \pm 3\pmod 8
\end{cases}</math>

== 기타 ==
*\(p\ge 5\)일 때 <math>\left(\frac{3}{p}\right)=\begin{cases}
1,&\text{if }p\equiv \pm 1\pmod{12}\\
-1,&\text{if }p\equiv \pm 5\pmod{12}\\
\end{cases}</math>
*\(\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}\) ([[이차상반성]])

== 관련 항목 ==
*[[이차잉여]]
[[분류:정수론]]