로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!== 정의 == <math>p</math>가 3 이상의 [[소수]]이고 <math>a</math>가 <math>(a,p)=1</math>인 [[정수]]일 때, 다음 기호 :<math>\left(\frac{a}{p}\right)=\begin{cases} 1,& (\exists x\in \mathbb{Z})[x^2 = a]\\ -1,& (\forall x\in\mathbb{Z})[x^2\ne a] \end{cases}</math> 를 '''르장드르 기호(Legendre symbol)'''라고 한다. 즉, <math>a</math>가 법 <math>p</math>에 대한 [[이차잉여]]이면 <math>\left(\frac{a}{p}\right)=1</math>이고 그렇지 않으면 <math>\left(\frac{a}{p}\right)=-1</math>이다. 책에 따라서 정의를 조금 확장하여, <math>p\mid a</math>이면 <math>\left(\frac{a}{p}\right)=0</math>이라 하기도 한다. 여기서는 <math>(a,p)=1</math>인 경우만 고려한다. == 기본 성질 == <math>p,q</math>가 서로 다른 3 이상의 소수이고 정수 <math>a,b</math>에 대해 <math>(a,p)=(b,p)=1</math>일 때, #<math>\left(\frac{a^2}{p}\right)=1</math> #:<math>x=a</math>는 합동식 <math>x^2\equiv a^2\pmod p</math>의 해이므로 자명하다. #<math>a\equiv b \pmod p</math>이면 <math>\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right)</math>이다. #:<math>a\equiv b \pmod p</math>라고 가정하면 두 합동식 <math>x^2\equiv a\pmod p</math>와 <math>x^2\equiv b\pmod p</math>는 동치이므로 원하는 결론을 얻는다. #<math>\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)</math> #:[[최대공약수]]의 성질에 의해 <math>(ab,p)=1</math>이므로, [[지수법칙]]에 의해 <math>\left(\frac{ab}{p}\right)=(ab)^{\frac{p-1}{2}}=a^{\frac{p-1}{2}}b^{\frac{p-1}{2}}=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)</math>이므로 원하는 결론을 얻는다. 여기서 르장드르 기호는 완전 [[곱셈적 함수]]임을 알 수 있다. 좀 더 엄밀히 표현하면, <math>L:{\mathbb{F}_p}^\times\to\left\{\pm1\right\}</math>가 완전 곱셈적 함수인 것. 한 예로, <math>\left(\frac{860}{103}\right)</math>의 값을 구해 보자. 103은 소수이고, :<math>860=8\cdot 103 + 36</math> 이므로 <math>860 \equiv 36 \pmod{103}</math>이다. 따라서 :<math>\left(\frac{860}{103}\right)=\left(\frac{36}{103}\right)</math> 이다. 그런데 <math>36=6^2</math>이므로 :<math>\left(\frac{860}{103}\right)=\left(\frac{36}{103}\right)=1</math> 임을 알 수 있다. == 오일러 판정법 == [[오일러의 규준]]이라고도 부른다. *<math>\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod p</math> *:<math>x_1,\ldots. x_{\frac{p-1}{2}}</math>를 법 <math>p</math>의 [[이차잉여]]라 하자. <math>a</math>가 이차잉여인 경우 <math>\{ax_1,\ldots, ax_{\frac{p-1}{2}} \} </math>는 집합으로서 <math>\{x_1,\ldots, x_{\frac{p-1}{2}} \}</math> 와 일치할 것이다. 따라서 모든 원소의 곱도 일치하고, <math> a^{\frac{p-1}{2}} x_1\cdots x_{\frac{p-1}{2}} \equiv x_1\cdots x_{\frac{p-1}{2}} \pmod{p} </math>가 성립한다. 양변을 소거하면 오일러의 규준을 얻는다. *:<math>a</math> 가 이차잉여가 아닐 경우, <math>ax_i</math> 들 또한 이차잉여가 아닐 것이고, 마찬가지로 <math> ax_i^{-1}</math> 또한 이차잉여가 아닐 것이다. 따라서 <math> \{x_1,\ldots, x_{\frac{p-1}{2}} \} \cup \{ax_1^{-1} ,\ldots, ax_{\frac{p-1}{2}} ^{-1} \} = \{1,2,\ldots, p-1\}</math> 이다. 모든 원소의 곱을 비교하면 <math>a^{\frac{p-1}{2}} \equiv (p-1)! \equiv -1 \pmod p </math> 를 얻는다. 여기서 마지막 등호는 [[윌슨의 정리]]의 결과이다. 오일러 판정법을 사용해 다음을 보일 수 있다. *<math>\left(\frac{-1}{p}\right)=\begin{cases} 1,&\text{if }p\equiv 1\pmod 4\\ -1,&\text{if }p\equiv -1\pmod 4 \end{cases}</math> *:오일러의 규준에 의해 <math>\left(\frac{-1}{p}\right)\equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}\pmod p</math>인데 <math>\left(\frac{-1}{p}\right)=\pm 1</math>이므로 <math>\left(\frac{-1}{p}\right)= (-1)^{\frac{p-1}{2}}</math>이다. <math>p</math>는 홀수이므로 <math>4k+1</math> 또는 <math>4k-1</math> 꼴인데, <math>(-1)^{2k}=1</math>이고 <math>(-1)^{2k-1}=-1</math>이므로 원하는 결론을 얻는다. == 가우스 판정법 == *<math>a,\,2a,\,\ldots,\,\left(\frac{p-1}{2}\right)a</math>를 법 <math>p</math>에 관해서 최소 양수 나머지로 바꾸자. 저 중에 <math>\frac{p}{2}</math>보다 큰 수의 개수를 <math>s</math>라 할 때, <math>\left(\frac{a}{p}\right)=\left(-1\right)^s</math>이다. *:<math>u_1,\,u_2,\,\ldots,\,u_s</math>를 <math>\frac{p}{2}</math>보다 큰 최소 양수 나머지라 하자. 그리고 <math>v_1,\,v_2,\,\ldots,\,v_t</math>를 <math>\frac{p}{2}</math>보다 작은 최소 양수 나머지라 하자. 먼저, <math>\left\{v_1,\,\ldots,\,v_t,\,p-u_1,\,\ldots,\,p-u_s\right\}=\left\{1,\,2,\,\ldots,\,\frac{p-1}{2}\right\}</math>임을 보일 것이다. *:#먼저, 모든 원소는 1에서 <math>\frac{p-1}{2}</math>사이. *:#총 <math>\frac{p-1}{2}</math>개의 원소가 있다. *:#만약 <math>v_i\equiv v_j\pmod p</math>이면, 적당한 [[정수]] <math>n,\,m</math>에 대해 <math>na\equiv ma\pmod p</math>이다. 그런데 <math>\gcd\left(a,p\right)=1</math>이므로 <math>n\equiv m\pmod p</math>이다. 그런데 <math>n,\,m</math>은 1에서 <math>\frac{p-1}{2}</math>사이의 정수이므로, <math>n=m</math>이다. 비슷한 방법으로, <math>p-u_i\equiv p-u_j\pmod p</math>이면 <math>i=j</math>임을 보일 수 있다. 만약 <math>v_i\equiv p-u_j\pmod p</math>이면, 적당한 정수 <math>n,\,m</math>에 대해 <math>na\equiv-ma\pmod p</math>이다. 즉, <math>n+m\equiv0\pmod p</math> 그런데 <math>n,\,m</math>은 1에서 <math>\frac{p-1}{2}</math>사이의 정수이므로 이는 불가능하다. *:위 세 명제를 합하면 원하는 결과를 얻는다. 따라서, <math>v_1\cdots v_t\left(p-u_1\right)\cdots\left(p-u_s\right)\equiv1\cdot2\cdots\frac{p-1}{2}\pmod p</math>이고, 정리하면 <math>\left(-1\right)^sv_1\cdots v_t u_1\cdots u_s\equiv\left(\frac{p-1}{2}\right)!\pmod p</math>이다. 여기서 좌변은 <math>\left(-1\right)^sa^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{p-1}{2}\right)!</math>과 합동이고, <math>p\not\mid\left(\frac{p-1}{2}\right)!</math>이므로 <math>\left(-1\right)^sa^{\frac{p-1}{2}}\equiv1\pmod p</math>이다. 따라서, 위 오일러 판정법에 의해 <math>\left(-1\right)^s\equiv a^{\frac{p-1}{2}}\equiv\left(\frac{a}{p}\right)\pmod p</math>. 한 예시를 통해 가우스 판정법이 어떻게 쓰이는지 확인해 보자. 만약 <math>a=5,\,p=11</math>이면, <math>\frac{p-1}{2}=5</math>이고, <math>\left\{a,2a,3a,4a,5a\right\}=\left\{5,10,15,20,25\right\}</math>를 법 11에 관한 최소 양수 나머지로 바꾸면 <math>\left\{5,11,4,9,3\right\}</math>이다. 이중 <math>\frac{p-1}{2}=5.5</math>보다 큰 수의 개수는 2이다. 따라서, <math>s=2</math>이고, <math>\left(\frac{5}{11}\right)\equiv\left(-1\right)^s\equiv1\pmod p</math>이다. 가우스 판정법을 사용하면 2가 어떨 때 이차잉여인지 확인할 수 있다. *<math>\left\{2,2\cdot2,\cdots,\frac{p-1}{2}\cdot2\right\}</math>는 법 <math>p</math>에 대해 이미 최소 양수 나머지이다. 또한, <math>i\cdot2<\frac{p}{2}</math>이기 위한 조건은 <math>i<\frac{p}{4}</math>인 것이다. 즉, <math>s=\frac{p-1}{2}-\left\lfloor\frac{p}{4}\right\rfloor</math>. 따라서, <math>\left(\frac{2}{p}\right)=\left(-1\right)^{\frac{p-1}{2}-\left\lfloor\frac{p}{4}\right\rfloor}</math>. 만약 <math>p\equiv\pm1\pmod8</math>이면, 직접 계산을 통해 <math>\left(\frac{2}{p}\right)=1</math>임을 확인할 수 있다. 만약 <math>p\equiv\pm3\pmod8</math>이면, 마찬가지로 <math>\left(\frac{2}{p}\right)=-1</math>임을 확인할 수 있다. 정리하면 다음과 같다. *<math>\left(\frac{2}{p}\right)=\begin{cases} 1,&\text{if }p\equiv \pm 1\pmod 8\\ -1,&\text{if }p\equiv \pm 3\pmod 8 \end{cases}</math> 위 두 조건을 하나로 합치면, <math>\left(\frac{2}{p}\right)=\left(-1\right)^{\frac{p^2-1}{8}}</math>이다. 증명은 생략. == 이차 상호법칙 == {{본문|이차 상호 법칙}} <math>p,\,q</math>가 서로 다른 홀수인 소수일 때, :<math>\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}</math> 르장드르 기호의 값을 계산할 때 유용하게 쓰는 법칙이다. [[카를 프리히드리 가우스]]가 1798년에 처음 증명했다. 자세한 내용은 [[이차 상호 법칙]] 문서 참조. == 관련 항목 == * [[이차잉여]] {{각주}} [[분류:정수론]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:본문 (원본 보기) (준보호됨)