Diophantine Equation
정의
디오판토스 방정식이란, 정수해 만을 허용하는 부정방정식을 일컫는다. 기하학적인 의미로 해석하면, 주어진 부정방정식을 만족하는 기하학적 오브젝트 위의 격자점(lattice point)를 모두 찾으라는 문제와 같다.
디오판토스 방정식이라 불리게 된 이유는 그리스의 수학자였던 디오판토스가 이런 유형의 문제를 연구했기 때문이라고 알려져있다.
예시
- [math]\displaystyle{ 3x+8y=72 }[/math]: 선형 디오판토스 방정식이라 불린다. 베주 항등식도 같이 참조.
- [math]\displaystyle{ x^2+y^2=z^2 }[/math]: 피타고라수 수
- [math]\displaystyle{ x^n+y^n=z^n,\,n\geq3 }[/math]: 페르마의 마지막 정리
선형 디오판토스 방정식
[math]\displaystyle{ ax+by=c }[/math]라는 방정식이 있고, 모든 정수해 [math]\displaystyle{ \left(x,y\right) }[/math]를 찾고 싶다고 하자. [math]\displaystyle{ d=\gcd\left(a,b\right) }[/math]라 할 때, [math]\displaystyle{ d\nmid c }[/math]이면 해가 존재하지 않고, [math]\displaystyle{ d\mid c }[/math]이면 해가 무수히 존재함이 알려져있다. 증명은 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ d\nmid c }[/math]라 가정하자. [math]\displaystyle{ d\mid a,\,d\mid b }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ d\mid ax+by }[/math]이다. 곧, \(d\)은 좌변을 나눈다. 그런데 \(d\)는 우변(=\(c\))을 나누지 않으므로 이는 모순이고, 정수해가 존재하지 않음을 알 수 있다.
- [math]\displaystyle{ d\mid c }[/math]라 가정하자. 그럼 적당한 정수 \(k\)에 대해 [math]\displaystyle{ c=dk }[/math]이다. 베주 항등식에 따르면, [math]\displaystyle{ as+bt=d }[/math]를 만족하는 정수 [math]\displaystyle{ s,\,t }[/math]가 존재한다. 곧, [math]\displaystyle{ \left(x,y\right)=\left(sk,tk\right) }[/math]가 한 해임을 알 수 있다. 이제 이 특이해를 [math]\displaystyle{ \left(x_0,y_0\right) }[/math]라 하자. 그럼, 임의의 정수 \(n\)에 대해 [math]\displaystyle{ \left(x_0+\frac{b}{d}n,y_0-\frac{a}{d}n\right) }[/math]도 해임을 알 수 있다. 즉, 해가 무수히 많이 존재한다.
수학적 감각이 있는 학생이라면 여기서 이런 질문을 던질것이다. "모든 정수해가 저 형태인가?" 답은 그렇다이며, 증명은 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ \left(x,y\right) }[/math]가 임의의 해라고 가정하자. 그럼 [math]\displaystyle{ ax_0+by_0=ax+by }[/math]이고, 정리하면 [math]\displaystyle{ a\left(x-x_0\right)=-b\left(y-y_0\right) }[/math]이다. 양변을 \(d\)로 나누면, [math]\displaystyle{ \frac{a}{d}\left(x-x_0\right)=-\frac{b}{d}\left(y-y_0\right) }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ \gcd\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=1 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \frac{a}{d}\mid-\left(y-y_0\right) }[/math]이다. 따라서, 적당한 정수 \(n\)에 대해 [math]\displaystyle{ \frac{a}{d}n=-\left(y-y_0\right) }[/math]이고, 정리하면 [math]\displaystyle{ y=y_0-\frac{a}{d}n }[/math]이다. 이제 이를 식에 대입하면 [math]\displaystyle{ x=x_0+\frac{b}{d}n }[/math]를 얻는다.
미지수가 두 개 이상이라도 비슷한 성질이 성립한다. [math]\displaystyle{ a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=c }[/math]의 정수해는 [math]\displaystyle{ d=\gcd\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\right) }[/math]이 \(c\)를 나눌 때 존재하며, 그렇지 않으면 정수해는 존재하지 않는다. 더욱이, 해가 하나라도 존재하면 해가 무수히 많이 존재한다. 증명은 수학적 귀납법을 사용하며, 미지수가 두 개일 경우와 비슷하다.
- [math]\displaystyle{ d\nmid c }[/math]라 가정하자. 그럼 \(d\)는 좌변을 나누나 우변은 나누지 않으므로 모순이다. 즉, 정수해가 존재하지 않는다.
- [math]\displaystyle{ d\mid c }[/math]라 가정하자. [math]\displaystyle{ n=2 }[/math]일 때는 위에서 이미 증명하였다. 이제 미지수가 \(n\)개 일때 해가 무수히 존재한다고 가정하자. 미지수가 \(n+1\)일 때를 살펴보자. 베주 항등식에 의해, [math]\displaystyle{ a_nx_n+a_{n+1}x_{n+1} }[/math]은 [math]\displaystyle{ \gcd\left(a_n,a_{n+1}\right) }[/math]의 배수와 같다. 즉, 임의의 정수 \(y\)에 대해 [math]\displaystyle{ a_nx_n+a_{n+1}x_{n+1}=\gcd\left(a_n,a_{n+1}\right)y }[/math]이고, 곧 미지수가 \(n+1\)개인 선형 디오판토스 방정식은 미지수가 \(n\)개인 선형 디오판토스 방정식으로 변형된다: [math]\displaystyle{ a_1x_1+a_2x_2+\cdots+\gcd\left(a_n,a_{n+1}\right)y=c }[/math]. 귀납 가정에 의해 이 방정식은 무수히 많은 해를 가진다. 한편, [math]\displaystyle{ \gcd\left(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1},\gcd\left(a_n,a_{n+1}\right)\right)=\gcd\left(a_1,a_2,\cdots,a_n,a_{n+1}\right) }[/math]이므로 원래 식도 무수히 많은 해를 가짐을 알 수 있다.