드무아브르의 정리

드무아브르의 정리(de Moivre의定理)는 i를 허수단위, θ를 실수, n을 유리수라고 할 때, [math]\displaystyle{ \left( \cos\theta + i\sin\theta \right)^n = \left( \cos n \theta + i\sin n \theta \right) }[/math]의 등식이 성립한다는 진리로 증명된 명제이다. 특히 복소수에 관한 명제로 수학자 드무아브르(de Moivre, Abraham)의 이름을 따왔다.

예

복소평면상에서 3차 이항방정식

[math]\displaystyle{ x^3=1 }[/math]일때

[math]\displaystyle{ x^3 -1= 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left( x -1 \right)\left( x^2 +x +1 \right)= 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left({x - 1}\right)=0 }[/math] 그리고 [math]\displaystyle{ \left( x^2 +x +1 \right)= 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ x = 1 }[/math] 이고

[math]\displaystyle{ \left( x^2 +x +1 \right)= x^2 +x +1 }[/math]

2차방정식의 근의 공식에 의해

[math]\displaystyle{ x= {-1 \pm \sqrt{-3} \over 2}={-1 \pm \sqrt{3}i \over 2} }[/math]

드무아브르의 정리에 따라 복소근 [math]\displaystyle{ \omega^1 , \omega^2 ,\omega^3 }[/math]를

[math]\displaystyle{ - {{1}\over{2}} + \sqrt {{3}\over{2}}i , - {{1}\over{2}} - \sqrt {{3}\over{2}}i , 1 }[/math]를 조사할수있다.

3차 이항방정식은 대수학의 기본정리에서 드무아브르의 정리에 따라

[math]\displaystyle{ \omega^1 \cdot \omega^1 = \omega^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \omega^1 \cdot \omega^2 = \omega^3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \omega^3 = 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \omega^1 + \omega^2 =-1 }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ \omega^1 + \omega^2 + \omega^3 = 0 }[/math]이다.

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