로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!=== 군 === ==== 제1동형정리 ==== * [[함수]] <math>f: G\to H</math>가 <math>\ker f=K</math>인 전사 준동형사상이라고 하자. 그러면 [[몫군]] ''G''/''K''는 ''H''와 동형이다. 함수 <math>\varphi: G/K\to H</math>를 다음과 같이 정의하자. : <math>\varphi(Kg)=f(g)</math> <math>\varphi</math>가 잘 정의되어 있음을 보이자. 임의의 <math>g_1,g_2\in G</math>에 대해 <math>Kg_1=Kg_2</math>라고 하자. 그러면 <math>g_1g_2^{-1}\in K</math>이다. ''K''의 정의에 의해, : <math>f(g_1g_2^{-1})=e_H</math> 이고 ''f''가 준동형사상이므로 : <math>f(g_1)f(g_2^{-1})=e_H</math> 이다. <math>f(g_2^{-1})=f(g_2)^{-1}</math>이므로 : <math>f(g_1)=f(g_2)</math> 를 얻는다. 따라서 <math>\varphi</math>는 잘 정의되어 있다. 이제 <math>\varphi</math>가 동형사상임을 보이면 된다. <math>G/K</math>의 임의의 원소를 <math>Kg_1,Kg_2</math>로 나타낼 수 있다. 그러면 : <math>\require{AMSmath}\require{AMSsymbols}\begin{align} \varphi(Kg_1)\varphi(Kg_2)&=f(g_1)f(g_2)&\quad(\because \text{definition of }\varphi)\\ &=f(g_1g_2)&\quad(\because f\text{ is a homorphism})\\ &=\varphi(Kg_1g_2)&\quad(\because \text{definition of }\varphi)\\ &=\varphi((Kg_1)(Kg_2))&\quad(\because\text{definition of product of cosets}) \end{align}</math> 이므로 <math>\varphi</math>는 준동형사상이다. 이제 <math>\varphi</math>가 일대일 대응임을 보이자. 임의의 <math>g_1,g_2\in G</math>에 대해 <math>\varphi(Kg_1)=\varphi(Kg_2)</math>라고 가정하자. 그러면 <math>\varphi</math>의 정의에 의해 <math>f(g_1)=f(g_2)</math>이다. 그러면 ''f''는 준동형사상이므로 <math>f(g_1g_2^{-1})=e_H</math>이고 따라서 <math>g_1g_2^{-1}\in K</math>이다. 따라서 <math>g_1\equiv g_2\pmod{K}</math>이므로 <math>Kg_1=Kg_2</math>이다. 따라서 <math>\varphi</math>는 일대일 함수임을 안다. 한편, 임의의 <math>h\in H</math>에 대해 ''f''는 위로의 함수이므로 <math>h=f(c)</math>인 <math>c\in G</math>가 존재한다. 그러면 <math>f(c)=\varphi(Kc)</math>이므로 <math>h=\varphi(Kc)</math>이다. 따라서 <math>\varphi</math>는 위로의 함수임을 안다. <math>\varphi</math>는 위로의 함수이고 일대일 함수이므로, 일대일 대응이다. 앞에서 <math>\varphi</math>가 준동형사상임을 보였으므로 <math>\varphi</math>는 동형사상이고, 따라서 <math>G/K\cong H</math>이다. ==== 제2동형정리 ==== ''K''는 [[군 (수학)|군]] ''G''의 [[부분군]]이고 ''N''은 ''G''의 [[정규부분군]]이라고 하자. 그러면 * <math>NK=\{nk\vert n\in N \wedge k\in K\}</math>는 ''G''의 부분군이다. * ''N''은 ''NK''의 정규부분군이다. ''N''이 ''G''의 정규부분군이므로, 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 <math>gN=Ng</math>이다. <math>NK\subseteq G</math>이므로, 임의의 <math>g\in NK</math>에 대해 <math>gN=Ng</math>이다. 따라서 ''N''은 ''NK''의 정규부분군이다. * <math>K/(N\cap K)\cong NK/N</math>이다. 함수 <math>f:K\to NK/N</math>를 다음과 같이 정의하자. : <math>f(k)=Nk\text{ for each }k\in K</math> ''f''가 준동형사상임을 보이자. 임의의 <math>k_1,k_2\in K</math>에 대해, : <math>\begin{align} f(k_1)f(k_2)&=Nk_1Nk_2\\ &=Nk_1k_2\\ &=f(k_1k_2) \end{align}</math> 이므로 ''f''는 준동형사상이다. 이제 ''f''가 위로의 함수임을 보이자. <math>NK/N</math>의 임의의 원소는 ''Nnk'' (단, <math>n\in N,k\in K</math>)으로 나타낼 수 있다. 그런데 <math>Nnk=(Nn)(Nk)=N(Nk)=Nk</math>이고 <math>f(k)=Nk=Nnk</math>이므로 ''f''는 위로의 함수이다. 따라서 ''f''는 전사인 준동형사상이다. 이제 ''f''의 핵을 구하자. <math>NK/N</math>의 항등원은 ''N''이므로, <math>f(k)=Nk=N</math>을 만족하는 <math>k\in K</math>가 <math>\ker f</math>의 원소다. <math>Nk=N</math>이면 <math>k\in N</math>이다. 따라서 <math>\ker f=K\cap N</math>이다. 따라서 제1동형정리에 의해 원하는 결론을 얻는다. ==== 제3동형정리 ==== <math>K,N</math>이 <math>N\subseteq K\subseteq G</math>인 [[군 (수학)|군]] ''G''의 [[정규부분군]]이라고 하자. 그러면 * <math>K/N</math>는 <math>G/N</math>의 [[정규부분군]]이다. ''N''이 ''K''의 부분군이라는 건 자명하다. ''N''은 ''G''의 정규부분군이므로, 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 <math>gN=Ng</math>이므로, 임의의 <math>k\in K</math>에 대해 <math>kN=Nk</math>이다. 따라서 ''N''은 ''K''의 정규부분군이다. 그러면 <math>K/N</math>은 군이고 원소들은 ''Nk''의 꼴로 표현할 수 있다. ''Nk''는 <math>G/N</math>의 원소이므로, <math>K/N</math>은 <math>G/N</math>의 부분군이다. 한편, ''K''가 ''G''의 정규부분군이므로, 임의의 <math>g\in G, k\in K</math>에 대해 <math>gk=k_1g,kg=gk_2</math>인 <math>k_1,k_2\in K</math>가 존재한다. 따라서 : <math>(Ng)(Nk)=Ngk=Nk_1 g=(Nk_1)(Ng)</math>, : <math>(Nk)(Ng)=Nkg=Ngk_2=(Ng)(Nk_2)</math> 이므로, <math>K/N</math>은 <math>G/N</math>의 정규부분군이다. * <math>(G/N)/(K/N) \cong G/K</math>이다. 함수 <math>f:G/N\to G/K</math>를 다음과 같이 정의한다. : <math>f(Ng)=Kg\text{ for each }Ng\in G/N</math> ''f''가 잘 정의되어 있음을 보이자. 임의의 <math>g_1,g_2\in G</math>에 대해 <math>Ng_1=Ng_2</math>라고 하자. 그러면 <math>g_1g_2^{-1}\in N</math>이고, <math>N\subseteq K</math>이므로 <math>g_1g_2^{-1}\in K</math>이다. 그러므로 <math>Kg_1=Kg_2</math>이다. 따라서 ''f''는 잘 정의되어 있다. ''f''가 전사인 준동형사상임을 보이자. <math>G/K</math>의 임의의 원소를 ''Kg''로 나타낼 수 있는데, 그러면 <math>Kg=f(Ng)</math>이므로 ''f''는 위로의 함수이다. 임의의 <math>g_1,g_2\in G</math>에 대해, : <math>\begin{align} f(Ng_1)f(Ng_2)&=Kg_1Kg_2&(\because \text{definition of }f)\\ &=Kg_1g_2&(\because \text{definition of product of cosets})\\ &=f(Ng_1g_2)&(\because \text{definition of }f)\\ &=f((Ng_1)(Ng_2))&(\because \text{definition of product of cosets}) \end{align}</math> 이므로 ''f''는 준동형사상이다. 이제 <math>\ker f</math>를 구하자. <math>f(Ng)=K</math>이면 <math>Kg=K</math>이므로 <math>g\in K</math>이다. 그러므로 <math>\ker f=K/N</math>이고, 제1동형정리에 의해 원하는 결론을 얻는다. ==== 쉬운 증명 ==== 다음 보조정리가 있으면 상당히 쉬워진다. {{인용문2| '''[보조정리]''' <math>\varphi : G \to H</math>가 군 준동형사상이고, <math>G' \trianglelefteq G, H' \trianglelefteq H</math>라고 하자. 함수 <math>\overline{\varphi} : G/G' \to H/H'</math>를 : <math>\overline{\varphi} \, \overline{x} = \overline{\varphi x} \qquad (x \in G)</math> 로 정의하려고 할 때, (가) <math>\overline{\varphi}</math>가 잘 정의된 군 준동형사상인 것과 <math>\varphi G' \leq H'</math>(또는 <math>G' \leq \varphi^{-1} H'</math>)인 것은 동치이다. (나) <math>\overline{\varphi}</math>가 잘 정의된 군 단사사상인 것과 <math>G' = \varphi^{-1} H'</math>인 것은 동치이다. '''[증명]''' (가) [⇒] <math>x \in G'</math>이면, : <math>\begin{align} \overline{\varphi x}&= \overline{\varphi} \, \overline{x}&(\because \text{ definition of }\varphi)\\ &= \overline{\varphi} \, \overline{e_G}&(\because x \in G' \Leftrightarrow \overline{x} = \overline{e_G})\\ &= \overline{\varphi e_G}&(\because \text{ definition of }\varphi)\\ &= \overline{e_H}&(\because \varphi \text{ is a homomorphism})\\ \end{align}</math> <math>\therefore \varphi x \in H'</math> [⇐] (잘 정의됨) <math>x, y \in G</math>가 <math>x y^{-1} \in G'</math>이면, <math>\varphi x \, \varphi y^{-1} = \varphi ( xy^{-1} ) \in \varphi G' \leq H'</math>이므로 잘 정의되어 있다. (군 준동형사상) 언제나처럼 작대기만 끊었다 이었다 하면 된다. 즉, <math>x, y \in G</math>에 대해 : <math>\begin{align} \overline{\varphi} ( \overline{x} \, \overline{y} )&= \overline{\varphi} ( \overline{xy} )&(\because \text{ definition of product of cosets})\\ &= \overline{\varphi (xy)}&(\because \text{ definition of }\varphi)\\ &= \overline{\varphi x \, \varphi y}&(\because \varphi \text{ is a homomorphism})\\ &= \overline{\varphi x} \, \overline{\varphi y}&(\because \text{ definition of product of cosets})\\ \end{align}</math> 이므로 군 준동형사상이 된다. ■ (나) [⇒] (가)에서 ≤ 방향은 보였으므로 <math>G' \geq \varphi^{-1} H'</math>만 보이면 된다. 이제 <math>x \in \varphi^{-1} H'</math>, 즉 <math>\varphi x \in H'</math>이면, : <math>\begin{align} \overline{\varphi} \, \overline{x}&= \overline{\varphi x}&(\because \text{ definition of }\varphi)\\ &= \overline{e_H}&(\because \varphi x \in H' \Leftrightarrow \overline{\varphi x} = \overline{e_H})\\ &= \overline{\varphi e_G}&(\because \varphi \text{ is a homomorphism})\\ &= \overline{\varphi} \, \overline{e_G}&(\because \text{ definition of }\varphi)\\ \end{align}</math> <math>\therefore x \in G'</math> [⇐] (가)에서 잘 정의된 군 준동형사상임은 보였으므로 단사성만 보이면 된다. 언제나처럼 잘 정의되는지에 관한 증명을 반대로 하면 된다. <math>\varphi x \, \varphi y^{-1} \in H'</math>이면, <math>\varphi ( xy^{-1} ) = \varphi x \, \varphi y^{-1} \in H'</math>이므로 <math>xy^{-1} \in \varphi^{-1} H' = G'</math>이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다. ■}} * 제1동형정리의 증명 위 보조정리에서 <math>\varphi = f</math>이고, <math>H' = \{ e_H \}, \; G' = \ker f = f^{-1} H'</math>인 경우이므로, <math>\overline{f}</math>는 잘 정의된 군 단사사상이 된다. 전사성은 앞에서처럼 거의 자명하다. ■ * 제2동형정리의 증명 위 보조정리에서 <math>\varphi</math>는 전형매장(canonical embedding) <math>\jmath : K \to NK</math>이고, <math>H' = N, \; G' = N \cap K</math>인 경우이다. <math>G' = \jmath^{-1} H'</math>임은 거의 자명하고, 전사성은 앞에서처럼 보이면 된다. ■ * 제3동형정리의 증명 위 보조정리를 써서 잘 정의된 군 준동형사상 <math>\overline{id_X} : G/N \to G/K</math>를 얻는다. 전사성과 <math>\ker \overline{id_X} = K/N</math>임은 거의 자명하고, 제1동형정리에 의해 원하는 결론을 얻는다. ■ 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț