로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!== 게임 지속시간 == 여기서는 도박사가 돈을 딸 수 있을 거라는 환상이 얼마나 지속될 수 있는지 예측하려고 한다. ''i''의 자금을 가지고 있을 때 게임의 평균 지속시간을 <math>T_i</math>라고 하자. 물론 <math>T_i<\infty</math>인데, 앞에서 자신과 상대 중 한 명은 반드시 돈이 다 털린다는 것을 알았기 때문이다. 이때 첫 판에서 성공했을 때는 <math>i+1</math>의 자금을 가지고 시작할 때와 같고 이때 기대시간은 <math>T_{i+1}+1</math>, 반대로 실패했을 때는 <math>i-1</math>의 자금을 가지고 시작할 때와 같고 이때 기대시간은 <math>T_{i-1}+1</math>이다. 따라서 : <math>T_i=pT_{i+1}+(1-p)T_{i-1}+1,\quad 0< i< N</math> : <math>T_0=T_N=0</math> 이다. <math>p\ne\frac{1}{2}</math>일 때, : <math>p\left(T_{i+1}-T_i-\frac{1}{1-2p}\right)=(1-p)\left(T_i-T_{i-1}-\frac{1}{1-2p}\right)</math> 이므로 : <math>\begin{align} T_2-T_1-\frac{1}{1-2p}&=\frac{1-p}{p}\left(T_1-T_0-\frac{1}{1-2p}\right)\\ T_3-T_2-\frac{1}{1-2p}&=\left(\frac{1-p}{p}\right)^2\left(T_1-T_0-\frac{1}{1-2p}\right)\\ &\vdots\\ T_i-T_{i-1}-\frac{1}{1-2p}&=\left(\frac{1-p}{p}\right)^{i-1}\left(T_1-T_0-\frac{1}{1-2p}\right) \end{align}</math> 이고 <math>T_0=0</math>이므로 양변을 모두 더하면 : <math>\begin{align} T_i-\frac{i}{1-2p}&=\left(1+\frac{1-p}{p}+\left(\frac{1-p}{p}\right)^2+\cdots+\left(\frac{1-p}{p}\right)^{i-1}\right)\left(T_1-\frac{1}{1-2p}\right)\\ &=\frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^i}{1-\frac{1-p}{p}}\left(T_1-\frac{1}{1-2p}\right) \end{align}</math> 이고 <math>T_N=0</math>이므로 : <math>T_N=\frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N}{1-\frac{1-p}{p}}\left(T_1-\frac{1}{1-2p}\right)+\frac{N}{1-2p}=0</math> 이고, 방정식을 풀면 : <math>T_1-\frac{1}{1-2p}=-\frac{N}{1-2p}\frac{1-\frac{1-p}{p}}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N}</math> 이다. 따라서 : <math>T_i=\frac{i}{1-2p}-\frac{N}{1-2p}\frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^i}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N}</math> 을 얻는다. <math>p=\frac{1}{2}</math>일 때, : <math>T_i=\frac{1}{2}T_{i+1}+\frac{1}{2}T_{i-1}+1</math> 이므로 : <math>T_{i+1}-T_i=T_i-T_{i-1}-2</math> 이다. 따라서 수열 <math>(T_{i}-T_{i-1})_{i=1}^N</math>은 공차 -2인 [[등차수열]]이다. <math>T_0=0</math>이므로, : <math>\begin{align} T_1-T_0&=T_1\\ T_2-T_1&=T_1-2\\ T_3-T_2&=T_1-4\\ &\vdots\\ T_{i}-T_{i-1}&=T_1-2(i-1) \end{align}</math> 이다. 따라서 : <math>T_i=iT_1-i(i-1)</math> 이고 <math>T_N=0</math>이므로 : <math>T_N=NT_1-N(N-1)=0</math> 이다. 식을 풀면 : <math>T_1=N-1</math> 를 얻는다. 따라서 : <math>T_i=i(N-i)</math> 이다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서는 다음의 숨은 분류 1개에 속해 있습니다: 분류:영어 표기를 포함한 문서