로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!== 풀이 == ''A''가 자금 ''N''을 독차지하는 사건을 ''E''로 두고, 자금 ''i''를 가지고 있을 때 자금 ''N''을 독차지할 확률을 <math>P_i</math>라 하자. 그러면 : <math>P_i=P(E)</math> 이고, 첫 번째 게임에서 앞면이 나오는 사건을 ''F''라 하면 전확률의 법칙(law of total probability)에 의해 : <math>P(E)=P(E|F)P(F)+P(E|F^c)P(F^c)</math> 이다. 만약 ''F''가 발생하면 ''A''는 자금 <math>i+1</math>을 가지고, 반대로 <math>F^c</math>가 발생하면 ''A''는 자금 <math>i-1</math>을 가진다. 따라서 : <math>P(E|F)=P_{i+1}</math> : <math>P(E|F^c)=P_{i-1}</math> 이다. 따라서 : <math>P_i=pP_{i+1}+(1-p)P_{i-1}</math> 이다. 그러면 : <math>pP_i+(1-p)P_i=pP_{i+1}+(1-p)P_{i-1}</math> 이므로 : <math>P_{i+1}-P_i=\frac{1-p}{p}(P_i-P_{i-1})</math> 이다. 그러면 : <math>\begin{align} P_2-P_1&=\frac{1-p}{p}(P_1-P_0)\\ P_3-P_2&=\left(\frac{1-p}{p}\right)^2(P_1-P_0)\\ &\vdots\\ P_i-P_{i-1}&=\left(\frac{1-p}{p}\right)^{i-1}(P_1-P_0) \end{align}</math> 이고 <math>P_0=0</math>이므로 양변을 더하면 : <math>P_i=\left(1+\frac{1-p}{p}+\left(\frac{1-p}{p}\right)^2+\cdots+\left(\frac{1-p}{p}\right)^{i-1}\right)P_1</math> 이므로 등비수열의 합의 공식에 의해 : <math>P_i=\begin{cases} \frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^i}{1-\frac{1-p}{p}}P_1,&p\ne\frac{1}{2}\\ iP_1,&p=\frac{1}{2} \end{cases}</math> 이다. 한편 <math>P_N=1</math>이므로 : <math>P_N=\begin{cases} \frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N}{1-\frac{1-p}{p}}P_1,&p\ne\frac{1}{2}\\ NP_1,&p=\frac{1}{2} \end{cases}</math> 에서 : <math>P_1=\begin{cases} \frac{1-\frac{1-p}{p}}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N},&p\ne\frac{1}{2}\\ \frac{1}{N},&p=\frac{1}{2} \end{cases}</math> 을 얻는다. 따라서 : <math>P_i=\begin{cases} \frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^i}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N},&p\ne\frac{1}{2}\\ \frac{i}{N},&p=\frac{1}{2} \end{cases}</math> 을 얻는다. 한편 <math>Q_i</math>을 ''B''가 자금 <math>N-i</math>를 가지고 있을 때 자금 ''N''을 독차지할 확률이라 하면 : <math>Q_i=\begin{cases} \frac{1-\left(\frac{p}{1-p}\right)^i}{1-\left(\frac{p}{1-p}\right)^N},&p\ne\frac{1}{2}\\ \frac{N-i}{N},&p=\frac{1}{2} \end{cases}</math> 이다. 그러면 : <math>P_i+Q_i=1</math> 이므로 ''A'', ''B'' 중 하나는 반드시 파산함을 안다. 도박사가 카지노에서 도박을 한다고 가정하자. 그러면 카지노는 자금을 많이 가지고 있으므로 <math>N\to\infty</math>라고 가정할 수 있다. 만약 <math>p<\frac{1}{2}</math>라면, <math>\frac{1-p}{p}>1</math>이므로 <math>N\to\infty</math>일 때 <math>P_i\to 0</math>이다. 즉 ''A''는 파산할 것이 확실하다. 심지어 <math>p=\frac{1}{2}</math>일 때도 파산하는 건 기정사실인데, 왜냐 하면 <math>N\to\infty</math>이면 <math>\frac{i}{N}\to 0</math>이기 때문이다. 그나마 <math>p>\frac{1}{2}</math>일 때 <math>P_i</math>는 0이 아닌 유한한 값으로 수렴한다. 그러나 이런 게임을 카지노가 마련해둘 리는 없다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서는 다음의 숨은 분류 1개에 속해 있습니다: 분류:영어 표기를 포함한 문서