데자르그의 정리({Desargues' theorem, -定理)는 지라르 데자르그가 증명한, 임의의 두 삼각형의 위치 관계에 대한 정리이다. 파스칼의 정리 등과 함께 사영기하학의 기초를 이루는 정리이다. 다음과 같은 내용이다.
공간상의 두 임의의 삼각형 ABC와 abc에 대하여, Aa, Bb, Cc를 연장한 직선들이 한 점에서 만날 때(이하 모두 연장한 직선), AB와 ab, BC와 bc, CA와 ca의 교점 P, Q, R은 한 직선 위에 놓인다.
사영기하학적으로는 다음과 같이 쓸 수 있다.
두 삼각형이 중심배경(central perspectivity)이면 축배경(axial perspectivity)이다.[1]
이 정리는 일반적인 유클리드 공간이나 유클리드 평면 상에서도 성립하는 정리이나, 그보다 일반적인 사영기하학에서 통상 다루어지는 정리이다. 이 정리의 쌍대 정리는 전혀 다른 정리가 되는 것이 아니라 데자르그 정리 자체의 역이 된다.
중심배경과 축배경이 필요충분조건이라는 것을 데자르그의 정리라 보는 경우도 있다. 이 경우 데자르그의 정리는 자기쌍대적(self-dual)이다.
증명
메넬라우스의 정리 이용하기
일단 기초기하학에서 사용할 수 있는 증명이다. 여기서 삼각형 두 개는 같은 평면에 있어야 하고 세 쌍의 서로 상응하는 변을 연장하는 직선은 모두 교점을 갖고 있어야 한다. 은근히 지루한 증명이지만 증명 난이도 자체는 메넬라우스의 정리만 이용하면 되기에 잘 따라기만 한다면 생각보다는 쉬운 편이다. Aa, Bb, Cc의 교점을 O라고 놓자.
우선 삼각형 △ABO에서 ab를 지나가는 직선에 대해 메넬라우스의 정리를 이용하면 [math]\displaystyle{ \frac{AR}{BR} \times \frac{Bb}{Ob} \times \frac{Oa}{Aa} =1 }[/math].
마찬가지로 삼각형 △BCO에서 bc를 지나는 직선에 대해 메넬라우스의 정리를 이용하면 [math]\displaystyle{ \frac{BQ}{CQ} \times \frac{Cc}{Oc} \times \frac{Ob}{Bb} =1 }[/math].
삼각형 △CAO에서 ca를 지나는 직선에 대해 메넬라우스의 정리를 이용하면 [math]\displaystyle{ \frac{CP}{AP} \times \frac{Aa}{Oa} \times \frac{Oc}{Cc} =1 }[/math].
마지막으로 위의 세 식을 모두 곱하면 [math]\displaystyle{ \frac{AR}{BR} \times \frac{BQ}{CQ} \times \frac{CP}{AP} =1 }[/math]. 따라서 삼각형 △ABC에 대해 메넬라우스의 역 정리를 이용하면 P, Q, R은 일직선상에 있다는 것을 증명할 수 있다.
그렇다면 전제조건을 만족하지 않을 때는 어떤 방법을 사용하는 것이 좋을까?
사영기하학의 성질 이용하기
삼각형 ABC와 abc가 한 평면 위에 있지 않으면 정량적인 방법이 아닌 다른 방법으로 증명하는 것이 좋다. 우선 사각형 ABba는 두 직선 AO와 BO가 만나는 평면 위에 존재한다. 이 경우 AB와 ab는 한 점 에서 만나거나 평행하다는 것을 알 수 있다. 일단 AB와 ab 위의 교점을 R이라 놓는다. 그러면 R이 ABC를 지나는 평면과 abc를 지나는 평면의 교집합이 있다. 마찬가지로 사각형 BCcb는 두 직선 BO와 CO가 만나는 평면 위에 존재하며, BC와 bc가 만나는 점을 P라고 한다. 분명 P와 R은 다른 점이므로 평면 ABC와 abc의 교집합은 한 직선이 된다. 같은 논리로 CA와 ca는 한 점에서 만나고, 이 점을 Q라고 놓을 때 평면 ABC와 평면 abc의 교집합에 있다. 그것은 점 Q가 P와 R을 지나는 직선에 있다는 것을 의미한다.
만약 ABC와 abc가 한 평면 위에 있다면 OC를 살짝 이동시켜 OA, OB가 있는 평면 바깥으로 내보낸다. 그러면 위의 논리를 이용해서 PQR이 한 직선 위에 있다는 것을 확인할 수 있다.
사영평면 [math]\displaystyle{ \mathbb{P}^2 }[/math] 이용하기
비데자르그 평면
3차원 이상의 사영 공간에서는 데자르그의 정리가 항상 성립한다. 하지만 2차원 사영기하학의 공리는 2차원 데자르그의 정리와 독립적이므로 2차원에서 데자르그의 정리가 성립하지 않는 비데자르그 기하학(Non-Desarguesian geometry)을 구성할 수도 있고, 그러한 사영 평면을 비데자르그 평면(Non-Desarguesian plane)이라 한다. 반대로, 데자르그의 정리가 성립하는 사영 평면을 데자르그 평면(Desarguesian plane)이라 한다. 대표적인 예로, 실수 사영 평면은 데자르그 평면이다.
같이 보기
참고 문헌
- Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969). 《Introduction to Geometry》, 2판 (en), New York: John Wiley & Sons. 틀:MR. ISBN 978-0-471-50458-0
- Hilbert, David, Stephan Cohn-Vossen (1952). 《Geometry and the Imagination》, 2판 (en), Chelsea, 119–128쪽. ISBN 0-8284-1087-9
- 최대호 (2006). 《해석기하학과 사영기하학》. 교우사
바깥 고리
- Eric Wolfgang Weisstein. 틀:PAGENAMEBASE (en). Wolfram Research.
- ↑ 최대호, 《해석기하학과 사영기하학》, 교우사, 2006, 227쪽.