로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! [[파일:데자르그의 정리.png|thumb|right|350px|데자르그의 정리 설명]] '''데자르그의 정리'''({Desargues' theorem, -定理)는 [[지라르 데자르그]]가 증명한, 임의의 두 [[삼각형]]의 위치 관계에 대한 [[정리]]이다. [[파스칼의 정리]] 등과 함께 [[사영기하학]]의 기초를 이루는 정리이다. 다음과 같은 내용이다. <blockquote>공간상의 두 임의의 삼각형 ABC와 abc에 대하여, Aa, Bb, Cc를 연장한 [[직선]]들이 한 점에서 만날 때(이하 모두 연장한 직선), AB와 ab, BC와 bc, CA와 ca의 교점 P, Q, R은 한 직선 위에 놓인다.</blockquote> 사영기하학적으로는 다음과 같이 쓸 수 있다. <blockquote>두 삼각형이 [[중심배경]](central perspectivity)이면 [[축배경]](axial perspectivity)이다.<ref>최대호, 《해석기하학과 사영기하학》, 교우사, 2006, 227쪽.</ref></blockquote> 이 정리는 일반적인 [[유클리드 공간]]이나 유클리드 평면 상에서도 성립하는 정리이나, 그보다 일반적인 사영기하학에서 통상 다루어지는 정리이다. 이 정리의 [[쌍대]] 정리는 전혀 다른 정리가 되는 것이 아니라 데자르그 정리 자체의 [[역 (논리학)|역]]이 된다. 중심배경과 축배경이 [[필요충분조건]]이라는 것을 데자르그의 정리라 보는 경우도 있다. 이 경우 데자르그의 정리는 [[자기 쌍대|자기쌍대적]](self-dual)이다. == 증명 == ===[[메넬라우스의 정리]] 이용하기 === 일단 기초기하학에서 사용할 수 있는 증명이다. 여기서 삼각형 두 개는 '''같은 평면에 있어야 하고''' 세 쌍의 서로 상응하는 변을 연장하는 직선은 모두 교점을 갖고 있어야 한다. 은근히 지루한 증명이지만 증명 난이도 자체는 [[메넬라우스의 정리]]만 이용하면 되기에 <s>잘 따라기만 한다면</s> 생각보다는 쉬운 편이다. Aa, Bb, Cc의 교점을 O라고 놓자. 우선 삼각형 △ABO에서 ab를 지나가는 직선에 대해 메넬라우스의 정리를 이용하면 <math> \frac{AR}{BR} \times \frac{Bb}{Ob} \times \frac{Oa}{Aa} =1 </math>. 마찬가지로 삼각형 △BCO에서 bc를 지나는 직선에 대해 메넬라우스의 정리를 이용하면 <math> \frac{BQ}{CQ} \times \frac{Cc}{Oc} \times \frac{Ob}{Bb} =1 </math>. 삼각형 △CAO에서 ca를 지나는 직선에 대해 메넬라우스의 정리를 이용하면 <math> \frac{CP}{AP} \times \frac{Aa}{Oa} \times \frac{Oc}{Cc} =1 </math>. 마지막으로 위의 세 식을 모두 곱하면 <math> \frac{AR}{BR} \times \frac{BQ}{CQ} \times \frac{CP}{AP} =1 </math>. 따라서 삼각형 △ABC에 대해 메넬라우스의 역 정리를 이용하면 P, Q, R은 일직선상에 있다는 것을 증명할 수 있다. 그렇다면 전제조건을 만족하지 않을 때는 어떤 방법을 사용하는 것이 좋을까? === 사영기하학의 성질 이용하기 === 삼각형 ABC와 abc가 한 평면 위에 있지 않으면 정량적인 방법이 아닌 다른 방법으로 증명하는 것이 좋다. 우선 사각형 ABba는 두 직선 AO와 BO가 만나는 평면 위에 존재한다. 이 경우 AB와 ab는 한 점 에서 만나거나 평행하다는 것을 알 수 있다. 일단 AB와 ab 위의 교점을 R이라 놓는다. 그러면 R이 ABC를 지나는 평면과 abc를 지나는 평면의 교집합이 있다. 마찬가지로 사각형 BCcb는 두 직선 BO와 CO가 만나는 평면 위에 존재하며, BC와 bc가 만나는 점을 P라고 한다. 분명 P와 R은 다른 점이므로 평면 ABC와 abc의 교집합은 '''한 직선'''이 된다. 같은 논리로 CA와 ca는 한 점에서 만나고, 이 점을 Q라고 놓을 때 평면 ABC와 평면 abc의 교집합에 있다. 그것은 점 Q가 P와 R을 지나는 직선에 있다는 것을 의미한다. 만약 ABC와 abc가 한 평면 위에 있다면 OC를 살짝 이동시켜 OA, OB가 있는 평면 바깥으로 내보낸다. 그러면 위의 논리를 이용해서 PQR이 한 직선 위에 있다는 것을 확인할 수 있다. === 사영평면 <math>\mathbb{P}^2 </math> 이용하기 === == 비데자르그 평면 == 3차원 이상의 [[사영 공간]]에서는 데자르그의 정리가 항상 성립한다. 하지만 2차원 사영기하학의 [[공리]]는 2차원 데자르그의 정리와 독립적이므로 2차원에서 데자르그의 정리가 성립하지 않는 [[비데자르그 기하학]](Non-Desarguesian geometry)을 구성할 수도 있고, 그러한 [[사영 평면]]을 [[비데자르그 평면]](Non-Desarguesian plane)이라 한다. 반대로, 데자르그의 정리가 성립하는 [[사영 평면]]을 [[데자르그 평면]](Desarguesian plane)이라 한다. 대표적인 예로, 실수 [[사영 평면]]은 데자르그 평면이다. == 같이 보기 == * [[메넬라우스의 정리]] * [[체바의 정리]] * [[파스칼의 정리]] * [[파푸스의 육각형 정리]] == 참고 문헌 == * {{서적 인용|성=Coxeter|이름=Harold Scott MacDonald|저자고리=해럴드 스콧 맥도널드 콕서터|날짜=1969|제목=Introduction to Geometry|판=2판|위치=New York|출판사=John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-50458-0|mr=123930|언어=en}} * {{서적 인용|성=Hilbert|이름=David|저자고리=다비트 힐베르트|공저자=Stephan Cohn-Vossen|날짜=1952|제목=Geometry and the Imagination|판=2판|출판사=Chelsea|쪽=119–128|isbn=0-8284-1087-9|언어=en}} * {{서적 인용|저자=최대호|제목=해석기하학과 사영기하학|출판사=교우사|날짜=2006}} == 바깥 고리 == * {{웹 인용 |언어=en |저자={{{저자|[[에릭 웨이스타인|Eric Wolfgang Weisstein]]}}} |url=http://mathworld.wolfram.com/{{{DesarguesTheorem|{{{urlname}}}}}}.html |제목={{{2|{{{Desargues'theorem|{{{title|{{PAGENAMEBASE}}}}}}}}}}} |작품=[[매스월드|Wolfram MathWorld]] |출판사=Wolfram Research }} {{퍼온문서|데자르그의 정리|16006984|일부}} [[분류:유클리드 기하학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ISBN (원본 보기) (준보호됨)틀:MR (편집) 틀:PAGENAMEBASE (편집) 틀:날짜 (원본 보기) (준보호됨)틀:서적 인용 (편집) 틀:알림바 (원본 보기) (보호됨)틀:웹 인용 (편집) 틀:퍼온문서 (원본 보기) (준보호됨)이 문서는 다음의 숨은 분류 1개에 속해 있습니다: 분류:퍼온 문서