대수적 위상수학

소개

"공간에 있는 구멍의 개수"를 추상화한 개념인 호몰로지와 호모토피를 연구하는 분야이다. 왜 대수학과 연관되어 있느냐 하면, 호몰로지와 호모토피가 각각 군 구조를 이루기 때문이다. 일반위상수학과는 다르게, 다양체와 같은 좀 더 구체적인 대상의 "모양새"를 연구하는데 집중하는 분야이다.

공간의 구멍개수 세봤자 뭐하냐는 질문이 드는 게 정상이다. 그건 밑에 서술한다.

개념들

호모토피

기본군(Fundamental Group)

우선 어떤 도형에서 모든 루프를 모은 집합을 G라고 놓는다. 이때 두 루프 l, m에 대해서 루프를 결합하는 연산을 연산자로 놓는다. 두 루프가 호모토피할 때 l~m이라고 놓자. 이 때루프의 집합의 Quotient

[math]\displaystyle{ G/\sim = \{ l \in G \vert l \sim m {\rm {if}} \it l \simeq m\} }[/math] 는 군을 이루는데 이것을 기본군이라고 부른다. 구멍(genus)이 없이 수축 가능한 집합(contractable)의 경우 모든 루프가 시작점으로 축소하는 호모토피가 존재하기 때문에 단순군이 된다. 하지만 구멍이 있는 경우 구멍을 중심으로 시계/반시계 방향으로 회전한 루프는 축소시키려고 해도 구멍에 걸리기 때문에 구멍 하나를 n바퀴 돈 뒤에 원점으로 돌아오는 루프는 한 점과 호모토피하지 않게 된다. 서로 별개의 루프로 연결된 경우에는 각각 루프를 돈 횟수에 따라 기본군에서 별개의 원소가 된다. 간단히 말하면 루프가 얼마나 쉽게 줄어드냐를 보여준다.

집합	기본군
Rn (수축가능한 집합)	0
S1(원), R2-{0}	[math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]
Sn(원), Rn+1-{0} (n>1)	0
Cn (N차원 토러스)	[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}^n }[/math]
뫼비우스 띠	[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2 }[/math]
[math]\displaystyle{ {\lor}_n ( S^1 ) }[/math]	[math]\displaystyle{ {\ast}_n \mathbb{Z} }[/math] (자유군 Free Group)

Fundamental Group의 아벨화(abelianization)은 First Homology Group인 만큼 두 가지 "구멍 찾는 방법"이 서로 연결되어 있음을 알 수 있다.

Homotopy Groups

Fundamental Group은 Homotopy Group의 일종이다. 정확히는 1차원 호모토피 그룹이다.

계산하기 어렵다. 호프 섬유가 기상천외한 호모토피군의 예를 보여준다.

호몰로지

Simplicial, Singular, Cellular Homology

공간의 구멍의 개수에 대한 비교적 직관적인 표현으로써 Singular Homology가 있다. (이것의 직관을 이해해야 "구멍"임을 인지할 수 있는데, 추가바람). 이것을 쉽게 계산하기 위한 도구로써 Simplicial / Cellular Homology가 있다. Singular Homology는 그 자체로써는 계산이 거의 불가능에 가까우며, 주어진 공간을 더 이해하기 쉬운 공간들로 분할함으로써 Simplicial / Cellular Homology를 구할 수 있다. 그 "이해하기 쉬운 공간"은 각각 Simplicial Complex와 CW Complex이다. 이 세 가지가 같다는 것은 열심히 증명해야 알 수 있는, 비교적 어려운 사실이다. (Alan Hatcher의 Algebraic Topology를 참고하자!)

Singular Cohomology

호몰로지에 대한 대칭적인 개념으로 코호몰로지가 있다. 이것의 정의 그대로만 보면 뭐하자는 건지 넋놓기 쉬운데, 이것의 직관은 푸앙카레 쌍대성(Poincare Duality)에 담겨 있다. 이것 역시 공간의 구멍개수를 세는 방법론이다.

Sheaf Cohomology

쉬프에 대해서 코호몰로지를 Derived Functor로 구할 수 있다.

대수다양체의 코호몰로지 이론

그로텐디크가 베유 가설을 풀기 위해 만들어 낸 개념이다. 이전에 베유(Weil. 프랑스어라서 이렇게 읽는다. 사실 더 정확히는 베이 가 맞다.)가설을 풀기 위해 "Weil Cohomology"라는 이론을 수학자들이 이미 찾고 있었으며, 아래의 이론들은 그 노력의 결과로서 만들어졌다. 결국 Etale Cohomology가 그 후보로 딱 맞아떨어져서 모두가 환호하게 되었다.

이들은 미분다양체 혹은 복소다양체의 코호몰로지가 그의 특정한 sheaf에 sheaf cohomology를 적용하여 얻어질 수 있다는 것에 착안하여, topology를 일반화한 Grothendieck topology, 혹은 site 위의 sheaf를 정의한 다음 기존 sheaf cohomology와 비슷하게 이론을 전개해 나간다.

Étale Cohomology

기존 sheaf 이론에서 open embedding을 étale morphism 으로 바꾸면 된다. étale morphism 은 직관적으로 정의역의 각 점에서 접벡터들이 공역의 대응되는 접벡터와 일대일 대응이 되는 것을 가리킨다.

이 이론이 좋은 이유중 하나는 복소다양체의 코호몰로지 이론과 같은 결과를 내놓기 때문이다.

“

(Comparison Theorem)X 가 특이점이 없는 (nonsingular)[math]\displaystyle{ C }[/math]-대수 다양체라 하자. 임의의 유한 가환군 [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math]에 대해 canonical 한 사상 [math]\displaystyle{ H_\mathrm{\acute{e}t}(X,\Lambda ) \to H^\mathrm{sing}(X(C),\Lambda) }[/math] 는 동형사상(isomorphism)이다.

“

또한 Galois group과도 관련되어 위상수학과 갈루아 이론 사이의 아름다운 연관성을 보여주기도 한다.

[math]\displaystyle{ \ell }[/math]-adic Cohomology

에탈 코호몰로지는 계수가 유한군에서 취해질 때만 좋은 성질을 만족하므로, 그 갭을 메꾸기 위해 다음과 같이 정의된 [math]\displaystyle{ \ell }[/math]- adic cohomology를 쓴다.

[math]\displaystyle{ H(X,Z_l) = \varprojlim H_{ét}(X,Z/l^nZ) }[/math]

여기서 [math]\displaystyle{ Z_l }[/math]는 l-adic 정수들의 집합이다. 이 [math]\displaystyle{ \ell }[/math]-adic 코호몰로지 이론은 Weil cohomology theory 가 된다!

Crystalline Cohomology

characteristic p위의 De Rham cohomology 라고 보면 된다.

위의 [math]\displaystyle{ \ell }[/math]-adic 코호몰로지는 구하는 대수다양체 [math]\displaystyle{ X }[/math] 가 정의된 체의 characteristic 이 [math]\displaystyle{ l }[/math]과 다른 소수일 때만 "좋은" 성질들을 만족한다. 한편 다른 방향에서의 영감으로부터 발전된 Crystalline cohomology 이론은 이 characteristic과 동일한 torsion의 결과를 내놓는다. 이를 위해선 본격적으로 sheaf들의 카테고리가 만족하는 성질을 추상화한 Topos를 고려할 필요가 있다! ... 간단히 말해, 어떤 스킴 [math]\displaystyle{ X }[/math] 와 그 base scheme [math]\displaystyle{ S }[/math]가 있고, [math]\displaystyle{ S }[/math]에 "divided power structure" 라는 것이 있을 때, open subset들은 [math]\displaystyle{ (U,T,\delta) }[/math] 들이다, 단 [math]\displaystyle{ U }[/math]는 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 open subset, [math]\displaystyle{ T }[/math]는 [math]\displaystyle{ U }[/math]의 infinitesimal thickening, [math]\displaystyle{ \delta }[/math]는 [math]\displaystyle{ U }[/math]를 자르는 [math]\displaystyle{ O_T }[/math]의 ideal [math]\displaystyle{ I }[/math]의 divided power structure 이다. Divided power structure란 characteristic 이 [math]\displaystyle{ p }[/math]인 경우에도 [math]\displaystyle{ \frac{x^n}{n!} }[/math]를 계산할 수 있게 해주는 추상적 구조이다. [math]\displaystyle{ X }[/math]가 characteristic 0에서 정의되어 있을 때 위에서 divided power structure 만 제거하면, infinitesimal cohomology라 불리는 것이 되며, de Rham cohomology와 같은 결과를 내놓게 된다.

Motivic Cohomology

다양한 코호몰로지 이론을 한꺼번에 합친 절대반지 같은 존재. 보통 cohomology가 abelian category를 은유적?으로 만든다면, 이것은 scheme들의 모임 자체를 abelian category로 만들어서 motive라고 이름 붙인다.

왜 하지?

공간의 구멍개수 세봤자 뭐하냐는 질문이 드는 게 정상이다. 놀랍게도 호몰로지는 그 베베 꼬인 정의에 비해 아주 직관적인 정보 혹은 놀랍게도 다른 대상에 대한 정보를 알려주곤 한다.

보르숙-울람의 정리

보르숙-울람의 정리는 초구에서 같은 차원의 유클리드 공간으로 가는 연속함수에 대하여, 대척점에서의 함수의 값이 항상 일치한다는 정리이다.

베유 가설

베유 가설은 어려운 정수론 문제다. 그런데 놀랍게도 대수위상수학에서 발달한 개념인 코호몰로지가 이 가설의 증명에 쓰이게 되었다.

20세기 초에 추측되던 존재인 Weil Cohomology Group이 존재한다면, 이것을 사용하여 위에서 설명한 레프쉐츠 정리처럼 기하학적으로 베유가설을 풀겠다는 가이드라인을 Weil가 제시했으며, 그로텐디크가 이 프로그램을 완성하게 된다.

베유 가설에 등장하는 해는 Frobenius 함수에 대한 고정점으로 생각할 수 있으며, 레프쉐츠 고정점 정리를 "어떤 �코호몰로지 군에" 적용하면 그 코호몰로지 군에 induce되는 trace의 alternating sum으로써 고정점의 개수, 즉 해의 개수를 찾을 수 있다는 것이 베유의 아이디어였다.

그로센디크가 찾은 그 코호몰로지 그룹이 바로 에탈 코호몰로지이다.