대수적 위상수학

소개

"공간에 있는 구멍의 개수"를 추상화한 개념인 호몰로지와 호모토피를 연구하는 분야이다. 왜 대수학과 연관되어 있느냐 하면, 호몰로지와 호모토피가 각각 군 구조를 이루기 때문이다. 일반위상수학과는 다르게, 다양체와 같은 좀 더 구체적인 대상의 "모양새"를 연구하는데 집중하는 분야이다.

공간의 구멍개수 세봤자 뭐하냐는 질문이 드는 게 정상이다. 그건 밑에 서술한다.

개념들

호모토피

Fundamental Group

루프가 얼마나 쉽게 줄어드냐를 보여준다.

Fundamental Group의 아벨화 (abelianization)은 First Homology Group인 만큼 두 가지 "구멍 찾는 방법"이 서로 연결되어 있음을 알 수 있다.

Homotopy Groups

Fundamental Group은 Homotopy Group의 일종이다. 정확히는 1차원 호모토피 그룹이다.

계산하기 어렵다. 호프 섬유가 기상천외한 호모토피군의 예를 보여준다.

호몰로지

Simplicial, Singular, Cellular Homology

공간의 구멍의 개수에 대한 비교적 직관적인 표현으로써 Singular Homology가 있다. (이것의 직관을 이해해야 "구멍"임을 인지할 수 있는데, 추가바람). 이것을 쉽게 계산하기 위한 도구로써 Simplicial / Cellular Homology가 있다. Singular Homology는 그 자체로써는 계산이 거의 불가능에 가까우며, 주어진 공간을 더 이해하기 쉬운 공간들로 분할함으로써 Simplicial / Cellular Homology를 구할 수 있다. 그 "이해하기 쉬운 공간"은 각각 Simplicial Complex와 CW Complex이다. 이 세 가지가 같다는 것은 열심히 증명해야 알 수 있는, 비교적 어려운 사실이다. (Alan Hatcher의 Algebraic Topology를 참고하자!)

Singular Cohomology

호몰로지에 대한 대칭적인 개념으로 코호몰로지가 있다. 이것의 정의 그대로만 보면 뭐하자는 건지 넋놓기 쉬운데, 이것의 직관은 푸앙카레 쌍대성(Poincare Duality)에 담겨 있다. 이것 역시 공간의 구멍개수를 세는 방법론이다.

Sheaf Cohomology

쉬프에 대해서 코호몰로지를 Derived Functor로 구할 수 있다.

Etale Cohomology

그로텐디크가 베유 가설을 풀기 위해 만들어 낸 개념이다. 이전에 베유(Weil. 프랑스어라서 이렇게 읽는다. 사실 더 정확히는 베이 가 맞다.)가설을 풀기 위해 "Weil Cohomology"라는 대상을 수학자들이 이미 찾고 있었으며 Etale Cohomology가 그 후보로 딱 맞아떨어져서 모두가 환호하게 되었다.

Motivic Cohomology

다양한 코호몰로지 이론을 한꺼번에 합친 절대반지 같은 존재. 보통 cohomology가 abelian category를 은유적?으로 만든다면, 이것은 scheme들의 모임 자체를 abelian category로 만들어서 motive라고 이름 붙인다.

왜함?

공간의 구멍개수 세봤자 뭐하냐는 질문이 드는 게 정상이다. 놀랍게도 호몰로지는 그 비비꼬인 정의에 비해 아주 직관적인 정보 혹은 놀랍게도 다른 대상에 대한 정보를 알려주곤 한다.

베유 가설

베유 가설은 어려운 정수론 문제다. 그런데 놀랍게도 대수위상수학에서 발달한 개념인 코호몰로지가 이 가설의 증명에 쓰이게 되었다.

20세기 초에 추측되던 존재인 Weil Cohomology Group이 존재한다면, 이것을 사용하여 위에서 설명한 레프쉐츠 정리처럼 기하학적으로 베유가설을 풀겠다는 가이드라인을 Weil가 제시했으며, 그로텐디크가 이 프로그램을 완성하게 된다.

베유가설에 등장하는 해는 Frobenius 함수에 대한 고정점으로 생각할 수 있으며, 레프쉐츠 고정점 정리를 "어떤 �코호몰로지 군에" 적용하면 그 코호몰로지 군에 induce되는 trace의 alternating sum으로써 고정점의 개수, 즉 해의 개수를 찾을 수 있다는 것이 베유의 아이디어였다.

그로텐디크가 찾은 그 코호몰로지 그룹이 바로 에탈 코호몰로지이다.