로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.중간의 다른 편집과 충돌하여 이 편집을 되돌릴 수 없습니다. 스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요![[분류:대수학]] [[분류:위상수학]] ==소개== "공간에 있는 구멍의 개수"를 추상화한 개념인 호몰로지와 호모토피를 연구하는 분야이다. 왜 [[대수학]]과 연관되어 있느냐 하면, 호몰로지와 호모토피가 각각 [[군 (수학)|군]] 구조를 이루기 때문이다. [[일반위상수학]]과는 다르게, [[다양체]]와 같은 좀 더 구체적인 대상의 "모양새"를 연구하는데 집중하는 분야이다. 공간의 구멍개수 세봤자 뭐하냐는 질문이 드는 게 정상이다. 그건 밑에 서술한다. ==개념들== ===호모토피=== ====기본군(Fundamental Group)==== 우선 어떤 도형에서 모든 루프를 모은 집합을 G라고 놓는다. 이때 두 루프 ''l'', ''m''에 대해서 루프를 결합하는 연산을 연산자로 놓는다. 두 루프가 호모토피할 때 l~m이라고 놓자. 이 때루프의 집합의 Quotient <math>G/\sim = \{ l \in G \vert l \sim m {\rm {if}} \it l \simeq m\} </math> 는 군을 이루는데 이것을 기본군이라고 부른다. 구멍(genus)이 없이 수축 가능한 집합(contractable)의 경우 모든 루프가 시작점으로 축소하는 호모토피가 존재하기 때문에 단순군이 된다. 하지만 구멍이 있는 경우 구멍을 중심으로 시계/반시계 방향으로 회전한 루프는 축소시키려고 해도 구멍에 걸리기 때문에 구멍 하나를 n바퀴 돈 뒤에 원점으로 돌아오는 루프는 한 점과 호모토피하지 않게 된다. 서로 별개의 루프로 연결된 경우에는 각각 루프를 돈 횟수에 따라 기본군에서 별개의 원소가 된다. 간단히 말하면 루프가 얼마나 쉽게 줄어드냐를 보여준다. {|class="wikitable" |- | 집합 || 기본군 |- | R<sup>n</sup> (수축가능한 집합) || 0 |- | S<sup>1</sup>(원), R<sup>2</sup>-{0} || <math> \mathbb{Z}</math> |- | S<sup>n</sup>(원), R<sup>n+1</sup>-{0} (n>1) || 0 |- | C<sup>n</sup> (N차원 토러스) || <math> \mathbb{Z}^n</math> |- | [[뫼비우스 띠]] || <math> \mathbb{Z}_2</math> |- | <math>{\lor}_n ( S^1 ) </math> || <math> {\ast}_n \mathbb{Z} </math> (자유군 Free Group) |} Fundamental Group의 아벨화(abelianization)은 First Homology Group인 만큼 두 가지 "구멍 찾는 방법"이 서로 연결되어 있음을 알 수 있다. ====Homotopy Groups==== Fundamental Group은 Homotopy Group의 일종이다. 정확히는 1차원 호모토피 그룹이다. 계산하기 어렵다. [[호프 섬유]]가 기상천외한 호모토피군의 예를 보여준다. ===호몰로지=== ====Simplicial, Singular, Cellular Homology==== 공간의 구멍의 개수에 대한 비교적 직관적인 표현으로써 Singular Homology가 있다. (이것의 직관을 이해해야 "구멍"임을 인지할 수 있는데, [[추가바람]]). 이것을 쉽게 계산하기 위한 도구로써 Simplicial / Cellular Homology가 있다. Singular Homology는 그 자체로써는 계산이 거의 불가능에 가까우며, 주어진 공간을 더 이해하기 쉬운 공간들로 분할함으로써 Simplicial / Cellular Homology를 구할 수 있다. 그 "이해하기 쉬운 공간"은 각각 Simplicial Complex와 CW Complex이다. 이 세 가지가 같다는 것은 열심히 증명해야 알 수 있는, 비교적 어려운 사실이다. (Alan Hatcher의 Algebraic Topology를 참고하자!) ====Singular Cohomology==== 호몰로지에 대한 대칭적인 개념으로 코호몰로지가 있다. 이것의 정의 그대로만 보면 뭐하자는 건지 넋놓기 쉬운데, 이것의 직관은 [[푸앙카레 쌍대성]](Poincare Duality)에 담겨 있다. 이것 역시 공간의 구멍개수를 세는 방법론이다. ====Sheaf Cohomology==== [[쉬프]]에 대해서 코호몰로지를 [[Derived Functor]]로 구할 수 있다. ====대수다양체의 코호몰로지 이론==== [[그로텐디크]]가 [[베유 가설]]을 풀기 위해 만들어 낸 개념이다. 이전에 베유(Weil. 프랑스어라서 이렇게 읽는다. 사실 더 정확히는 ''베이'' 가 맞다.)가설을 풀기 위해 "Weil Cohomology"라는 이론을 수학자들이 이미 찾고 있었으며, 아래의 이론들은 그 노력의 결과로서 만들어졌다. 결국 Etale Cohomology가 그 후보로 딱 맞아떨어져서 모두가 환호하게 되었다. 이들은 미분다양체 혹은 복소다양체의 코호몰로지가 그의 특정한 sheaf에 sheaf cohomology를 적용하여 얻어질 수 있다는 것에 착안하여, topology를 일반화한 Grothendieck topology, 혹은 site 위의 sheaf를 정의한 다음 기존 sheaf cohomology와 비슷하게 이론을 전개해 나간다. =====Étale Cohomology===== 기존 sheaf 이론에서 open embedding을 [[étale morphism]] 으로 바꾸면 된다. étale morphism 은 직관적으로 정의역의 각 점에서 접벡터들이 공역의 대응되는 접벡터와 일대일 대응이 되는 것을 가리킨다. 이 이론이 좋은 이유중 하나는 복소다양체의 코호몰로지 이론과 같은 결과를 내놓기 때문이다. {{인용문|(Comparison Theorem)X 가 특이점이 없는 (nonsingular)<math>C </math>-대수 다양체라 하자. 임의의 유한 가환군 <math> \Lambda </math>에 대해 canonical 한 사상 <math>H_\mathrm{\acute{e}t}(X,\Lambda ) \to H^\mathrm{sing}(X(C),\Lambda)</math> 는 동형사상(isomorphism)이다.}} 또한 Galois group과도 관련되어 위상수학과 갈루아 이론 사이의 아름다운 연관성을 보여주기도 한다. =====<math>\ell</math>-adic Cohomology===== 에탈 코호몰로지는 계수가 유한군에서 취해질 때만 좋은 성질을 만족하므로, 그 갭을 메꾸기 위해 다음과 같이 정의된 <math>\ell</math>- adic cohomology를 쓴다. <math>H(X,Z_l) = \varprojlim H_{ét}(X,Z/l^nZ)</math> 여기서 <math>Z_l</math>는 l-adic 정수들의 집합이다. 이 <math>\ell</math>-adic 코호몰로지 이론은 Weil cohomology theory 가 된다! =====Crystalline Cohomology===== characteristic p위의 De Rham cohomology 라고 보면 된다. 위의 <math>\ell</math>-adic 코호몰로지는 구하는 대수다양체 <math>X</math> 가 정의된 체의 characteristic 이 <math>l</math>과 다른 소수일 때만 "좋은" 성질들을 만족한다. 한편 다른 방향에서의 영감으로부터 발전된 Crystalline cohomology 이론은 이 characteristic과 동일한 torsion의 결과를 내놓는다. 이를 위해선 본격적으로 sheaf들의 [[카테고리]]가 만족하는 성질을 추상화한 [[Topos]]를 고려할 필요가 있다! ... 간단히 말해, 어떤 [[스킴]] <math>X</math> 와 그 base scheme <math>S</math>가 있고, <math>S</math>에 "divided power structure" 라는 것이 있을 때, open subset들은 <math>(U,T,\delta)</math> 들이다, 단 <math>U</math>는 <math>X</math>의 open subset, <math>T</math>는 <math>U</math>의 infinitesimal thickening, <math>\delta</math>는 <math>U</math>를 자르는 <math>O_T</math>의 ideal <math>I</math>의 divided power structure 이다. Divided power structure란 characteristic 이 <math>p</math>인 경우에도 <math>\frac{x^n}{n!}</math>를 계산할 수 있게 해주는 추상적 구조이다. <math>X</math>가 characteristic 0에서 정의되어 있을 때 위에서 divided power structure 만 제거하면, infinitesimal cohomology라 불리는 것이 되며, de Rham cohomology와 같은 결과를 내놓게 된다. =====Motivic Cohomology===== 다양한 코호몰로지 이론을 한꺼번에 합친 [[절대반지]] 같은 존재. 보통 cohomology가 abelian category를 은유적?으로 만든다면, 이것은 scheme들의 모임 자체를 abelian category로 만들어서 motive라고 이름 붙인다. ==왜 하지?== 공간의 구멍개수 세봤자 뭐하냐는 질문이 드는 게 정상이다. 놀랍게도 호몰로지는 그 베베 꼬인 정의에 비해 아주 직관적인 정보 혹은 놀랍게도 다른 대상에 대한 정보를 알려주곤 한다. ===브라우어의 고정점 정리=== ===레프쉐츠의 고정점 정리=== ===보르숙-울람의 정리=== 보르숙-울람의 정리는 초구에서 같은 차원의 유클리드 공간으로 가는 연속함수에 대하여, 대척점에서의 함수의 값이 항상 일치한다는 정리이다. ===베유 가설=== [[베유 가설]]은 어려운 [[정수론]] 문제다. 그런데 놀랍게도 대수위상수학에서 발달한 개념인 코호몰로지가 이 가설의 증명에 쓰이게 되었다. 20세기 초에 추측되던 존재인 Weil Cohomology Group이 존재한다면, 이것을 사용하여 위에서 설명한 레프쉐츠 정리처럼 기하학적으로 베유가설을 풀겠다는 가이드라인을 Weil가 제시했으며, [[그로텐디크]]가 이 프로그램을 완성하게 된다. 베유 가설에 등장하는 해는 Frobenius 함수에 대한 고정점으로 생각할 수 있으며, 레프쉐츠 고정점 정리를 "어떤 �코호몰로지 군에" 적용하면 그 코호몰로지 군에 induce되는 trace의 alternating sum으로써 고정점의 개수, 즉 해의 개수를 찾을 수 있다는 것이 베유의 아이디어였다. 그로센디크가 찾은 그 코호몰로지 그룹이 바로 [[에탈 코호몰로지]]이다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:인용문 (원본 보기) (준보호됨)