로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요![[분류:수]] ==개요== '''대수적 수'''(代數的 數, algebraic number)는 [[정수]] [[계수]] 또는 [[유리수|유리]] 계수<ref>무엇을 택해도 같다. 계수의 분모의 최소공배수를 곱하면 되기 때문.</ref> [[다항식]]의 [[해 (수학)|해]]가 되는 [[복소수]]를 말한다. 즉 다음을 만족하는 복소수 <math>z</math>를 대수적 수라고 한다: :<math>\exists p(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0\in \mathbb Q[x] \textrm{ s.t. } p(z) = 0.</math> 먼저 모든 유리수는 대수적 수임을 쉽게 알 수 있다. 또한 어떤 유리수의 [[제곱근|거듭제곱근]] 꼴의 수 역시 대수적 수이다 - 이 수가 허수여도 상관없다. 또한 모든 [[작도 가능한 수]]는 대수적 수이다. 대수적 수의 [[집합]]은 [[가산집합]]이다. 대수적 수는 유리 계수 다항식의 근이기 때문에 유리 계수 다항식의 집합이 유리수 집합과 [[기수]](cardinal)가 같음에서<ref>기수가 무한일 때 성립한다. 먼저 어떤 무한집합 <math>S</math>의 유한 [[수열]]의 집합 <math>\mathcal S_\mathrm F</math>을 생각하면 [[단사함수]] <math>f:S[x]\rightarrow\mathcal S_\mathrm F</math>가 존재함을 알 수 있다. 또한, <math>\mathcal S_\mathrm F</math>은 <math>S</math>의 가산 합이므로 <math>S</math>와 기수가 같고, 즉 [[전단사]]가 존재한다. 따라서 우리는 <math>S[x]\to S</math>인 단사함수가 있음을 안다. <math>S\to S[x]</math>인 단사가 존재하는 것은 매우 자명하므로 [[칸토르-베른슈타인-슈뢰더 정리]]에 의하여 <math>S</math>와 <math>S[x]</math> 사이에는 전단사가 존재하고, 즉 기수가 같다.</ref> 대수적 수의 집합은 가산임을 알 수 있다.<ref>가산 개의 유한집합을 합해도 가산이기 때문.</ref> 대수적 수가 아닌 [[복소수]]를 [[초월수]]라 한다. 대수적 수의 집합은 [[가산 집합]]인 반면 복소수의 집합은 [[비가산 집합]]이므로, 대수적 수보다 초월수가 더 많다. 또한 [[초초월수]](hypertranscendental number)라는 것도 있는데, 이는 정수 계수의 대수적인 미분 방정식(초기 조건 역시 대수적이다.)의 해인 함수의 대수적 수에서의 함숫값이 아닌 복소수를 이른다. == 성질 == * 대수적 수의 집합은 가산이다. 따라서 대수적 수의 집합은 (복소수 전체의 집합에 대해) [[르베그 측도]] 0을 가진다. 즉 거의 대부분의 복소수는 초월수이다. * 대수적 수는 [[환 (수학)|환]]이면서 [[곱셈]]에 대한 [[교환법칙]]이 성립하고 [[0]]이 아닌 대수적 수에 대하여 곱셈에 대한 [[역원]]이 존재하므로 [[체 (수학)|체]]를 이룬다. 또한 대수적 수는 [[유리수]] 집합을 포함한 가장 작은 [[대수적으로 닫힌 체]]이다 - 대수적 수는 유리수의 [[대수적 닫힘]]이다. * 주어진 대수적 수에 대하여 그 수를 근으로 하는 [[최고차항의 계수가 1인 다항식|최고차항의 계수가 1인]] 최소 차수의 다항식은 유일한데, 이를 [[최소다항식]]이라 한다. 대수적 수의 차수는 그의 최소다항식의 차수를 말한다. 예를 들어 유리수 집합은 차수 1의 대수적 수의 집합이다. * 실-대수적 수(대수적인 실수) 집합은 전순서집합이고 가산이며 조밀(dense)한 순서를 가지므로 이는 유리수 집합과 [[순서동형]]이다. * 실수 <math>u,v</math>에 대하여 <math>u+iv</math>가 대수적임과 <math>u, v</math>가 대수적임은 필요충분조건이다.<ref>Niven 1956, Corollary 7.3.</ref> {{주석}} {{수}} 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:수 (편집) 틀:주석 (편집) 틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)