대각화 편집하기



== 정의 ==
정사각행렬 <math>A</math>에 대해 [[역행렬]]이 존재하는 행렬 <math>P</math>와 대각행렬 <math>D</math>가 존재해
: <math>D=P^{-1}AP</math>
이면 <math>A</math>를 '''대각화 가능(diagonalizable)'''하다고 하고, <math>P</math>가 <math>A</math>를 '''대각화'''한다고 한다.
== 대각화 가능 조건 ==
<math>n</math>차 정사각행렬 <math>A</math>가 대각화 가능할 필요충분조건은 <math>A</math>의 선형독립인 고유벡터가 <math>n</math>개 존재하는 것이다.
{{글 숨김 시작|제목=Proof}}
<math>A</math>가 대각화 가능하다고 가정하자. 그러면 <math>P^{-1}AP=D</math>인 가역행렬 <math>P</math>와 대각행렬 <math>D</math>가 존재한다. 이때
: <math>P=[p_{ij}], D=[ \delta_{ij}\lambda_i]</math>
으로 두면 (단, <math>\delta_{ij}</math>는 [[크로네커 델타]]이다.)
: <math>AP=PD=\left[\sum_{k=1}^n \delta_{kj}p_{ik}\lambda_{k} \right]=[\lambda_jp_{ij}]</math>
<math>P</math>의 열벡터를 <math>\mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2,\cdots,\mathbf{p}_n</math>이라 하면
: <math>A\mathbf{p}_1=\lambda_1 \mathbf{p}_1,A\mathbf{p}_2=\lambda_2 \mathbf{p}_2,\cdots,A\mathbf{p}_n=\lambda_n \mathbf{p}_n</math>
이고 <math>P</math>가 가역행렬이므로 <math>\mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2,\cdots,\mathbf{p}_n</math>은 <math>A</math>의 선형독립인 고유벡터이다.

<math>A</math>의 선형독립인 고유벡터 <math>n</math>개가 존재한다고 가정하자. <math>A</math>의 선형독립인 고유벡터를 <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n</math>이라고 하고, 대응되는 고윳값을 <math>\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n</math>이라고 하자. 행렬 <math>P</math>를
: <math>P=\begin{bmatrix}\mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2&\cdots& \mathbf{v}_n\end{bmatrix}</math>
으로 정의하면,
: <math>\begin{align}
AP&=A\begin{bmatrix}\mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2&\cdots& \mathbf{v}_n\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}A\mathbf{v}_1&A\mathbf{v}_2&\cdots& A\mathbf{v}_n\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}\lambda_1\mathbf{v}_1&\lambda_2\mathbf{v}_2&\cdots& \lambda_n\mathbf{v}_n\end{bmatrix}\\
&=PD
\end{align}</math>
이므로 <math>A</math>는 대각화 가능하다. 이때, <math>D=[ \delta_{ij}\lambda_i]</math>이다.
{{글 숨김 끝}}
== 예시 ==
* <math>\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}</math>은 대각화 가능하며, <math>\begin{bmatrix}1+\sqrt{2}& 1-\sqrt{2}\\ 1 & 1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1+\sqrt{2}& 1-\sqrt{2}\\ 1 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+\sqrt{2} & 0\\ 0 & 1-\sqrt{2}\end{bmatrix}</math>이다.
* <math>\begin{bmatrix}3 & 1 \\ -1 & 1\end{bmatrix}</math>은 대각화 불가능하다. 왜냐 하면 <math>\begin{bmatrix}3 & 1 \\ -1 & 1\end{bmatrix}</math>의 고유벡터는 <math>c\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}</math>뿐으로, 선형독립인 고유벡터 2개를 선택할 수 없기 때문이다.

[[분류:선형대수학]]