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''R''이 항등원을 가지면 <math>1_P=\left(1_R,0_R,0_R,\cdots\right)</math>가 항등원이 되어, <math>\left(P,\oplus,\odot\right)</math>는 항등원을 갖는 환임을 금방 알 수 있다. '''부정원(indeterminate)''' ''x''와 '''상수''' <math>\mathbf{a}</math>를 다음과 같이 정의한다. : <math>x=\left(0_R,1_R,0_R,0_R,\cdots\right)</math><ref>따라서 다항식의 부정원인 ''x''를 다룰 때 ''x''에 무언가를 대입하는 것은 허용되지 않는다. 이는 나중에 evaluation homomorphism이라는 이름으로 따로 나온다.</ref> : <math>\mathbf{a}=\left(a,0_R,0_R,0_R,\cdots\right)</math> 그러면 <math>\mathbf{a}\odot x=x\odot \mathbf{a}</math>이고, 모든 다항식들은 부정원과 유한 개의 상수로 <math>a_0\oplus \left(a_1\odot x\right)\oplus \left(a_2\odot x^2\right)\oplus\cdots\oplus \left(a_n\odot x^n\right)</math>와 같이 표현할 수 있다. 앞서 예시로 든 실수 계수 다항식 <math>x^3-2x^2+x+999</math>에서 계수인 1, −2, 999는 사실 실수가 아니라 실수를 성분으로 가지는 수열 <math>\left(1,0,0,\cdots\right)</math>, <math>\left(-2,0,0,\cdots\right)</math>, <math>\left(999,0,0,\cdots\right)</math>이었던 것이다. 그러나 이들을 마치 실수처럼 다룰 수 있는데, 그것은 canonical embedding <math>\imath : R \to P, r \mapsto \left(r,0_R,0_R,\cdots\right)</math>를 생각할 때 ''P''의 (왼쪽) ''R''상수곱과 위 embedding과 ''P''의 (왼쪽) 곱셈의 합성이 같은 결과를 내기 때문이다(정의에 의해 자명하다).<ref>Commutative diagram을 그리면 더 명확할 것 같은데, 고수님의 [[추가바람]].</ref> 이제부터 <math>\oplus,\odot</math>를 보통 쓰는 기호인 +, ·로 나타내자. 물론 곱셈 기호는 생략가능하다. == 기본적인 성질 == * 어떤 다항식을 나타내는 방법은 유일하다. 다시 말해, 다항식 <math>f\left(x\right)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n</math>, <math>g\left(x\right)=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n</math>에 대해 <math>f\left(x\right)=g\left(x\right)</math>이면, 즉 :: <math>a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n</math> : 이면 임의의 <math>0\le i\le n</math>에 대해 <math>a_i=b_i</math>이다. == 다항식의 차수 == 다항식 <math>a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n</math>에 대해 <math>a_i\ne 0_R</math>인 <math>i</math> 중 가장 큰 것을 '''다항식의 차수(degree of a polynomial)'''라 하고, 이때 <math>a_i</math>를 '''선행계수(leading coefficient)'''라고 한다. 만약 그런 <math>i</math>가 존재하지 않는다면(그러니까 <math>f(x)=0_R</math>인 경우) 차수는 정의되지 않는데, <math>-\infty</math>로 정의하기도 한다. * ''R''이 [[환 (수학)|환]]이면, <math>f\left(x\right),g\left(x\right)\in R\left[x\right]</math>에 대해 <math>\deg \left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\le\deg f\left(x\right)+\deg g\left(x\right)</math>이 성립하고, 더 나아가 ''R''이 [[정역]]이면 <math>\deg \left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)=\deg f\left(x\right)+\deg g\left(x\right)</math>이다. 다항식이 <math>0_R</math>일 때, 차수를 <math>-\infty</math>로 하는 이유도 그래야 이 식들이 성립하기 때문이다. ''R''이 정역이 아니라면 등식이 성립하지 않을 수 있는데, 예를 들면 <math>\mathbb{Z}_6\left[x\right]</math>의 원소 <math>f\left(x\right)=3x^2+2</math>,<math>g\left(x\right)=2x^2+3</math>에 대해 <math>f\left(x\right)g\left(x\right)=x^2</math>이므로 <math>\deg\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)=2\ne \deg f\left(x\right)+\deg g\left(x\right)</math>이다. == 나눗셈정리와 인수분해 == ''F''를 [[체 (수학)|체]]라고 하자. <math>f\left(x\right),g\left(x\right)\in F\left[x\right]</math>이고 <math>g\left(x\right)\ne 0_F</math>이면, <math>f\left(x\right)=g\left(x\right)q\left(x\right)+r\left(x\right)</math>인 <math>r\left(x\right),q\left(x\right)\in F\left[x\right]</math>가 유일하게 존재하고, <math>r\left(x\right)=0_F</math>이거나 <math>\deg r\left(x\right) <\deg g\left(x\right)</math>이다. 임의의 정수를 소수의 곱으로 유일하게 나타낼 수 있다는 것이 알려져 있다([[소인수분해#산술의 기본 정리|산술의 기본 정리]]). 마찬가지로, 체 ''F''의 원소를 계수로 가지는 임의의 다항식은 기약불가능인 유한 개 다항식의 곱으로 나타낼 수 있다. == 다항함수 == ''R''을 가환환으로 가정하자. 다항식 <math>p\left(x\right) = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\in R\left[x\right]</math>에 대해 함수 <math>f : R\to R, r \mapsto \mathcal{E}_{r}\left(p\left(x\right)\right) = a_0+a_1r+a_2r^2+\cdots+a_nr^n</math>를 '''다항함수(polynomial function)'''라고 한다. 이때 <math>f\left(a\right)=0_R</math>이 성립하는 <math>a\in R</math>을 다항식 <math>f\left(x\right)</math>의 '''근(root)'''이라 한다. == 같이 보기 == *[[형식적 멱급수]] == 외부 참조 == * Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html "Polynomial."] From MathWorld--A Wolfram Web Resource. {{각주}} [[분류:다항식| ]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)