다양체

최소곡면중 하나인 Hoffman 곡면

소개

국소적으로 유클리드공간과 닮은 공간. 부드럽게 말랑말랑한 표면이나 덩어리 따위를 추상적으로 구현한 개념이다.

왜 공부함?

일반상대성 이론에 쓰인다. 우주는 기본적으로 휘어 있는 공간이며 결국 다양체라는 것이 일반상대성 이론의 주장! 결국 우주를 알려면 다양체를 알아야 한다.

공학에서 아주 특정한 이유를 위해 존재하기도 한다. distribution 따위를 쓴다고 들었음... 추가바람 소위 디지털 기하학이라고 하는, 다양체를 사용해 이미지 프로세싱을 연구하는 분야도 존재한다.

다양체의 종류

유클리드공간과 닮았다고는 하지만, 어떻게 닮았으며 이 위에 어떤 다른 구조를 줄 수 있느냐에 따라 다양한 재미진 것들을 알 수 있다.

위상적 다양체

그냥 국소적으로 동형이기만 한 것들.

꺾은선 다양체

위상적 다양체이며, transition map이 piecewise linear인 것들.

미분 다양체

위상적 다양체이며, transition map이 smooth인 것들. 얼마나 smooth하냐에 따라서 급을 나누기도 한다.

리만 다양체

미분 다양체이며, 그 위에서 거리를 잴 수 있는 거리 텐서가 있는 놈을 말한다.

심플렉틱 다양체

미분 다양체이며, 그 위에서 closed nondegenerate 2-form이 존재하는 놈. 이것의 직관에 대해 추가바람!

복소 다양체

위상적 다양체이며, transition map이 holomorphic 인 것들. 이중에는 리만 곡면 맛있는 도넛 등도 있다.

깨흘러 다양체

Kahler Manifold. 복소다양체이면서 리만다양체이고 심플렉틱 다양체인 것이다. 이것의 직관에 대해 추가바람!