내심 편집하기



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== 정의 ==
[[다각형]]의 내접원의 중심을 부르는 말. 하지만 보통 내심이라고 하면 [[삼각형]]의 내접원의 중심만을 이른다. 어떤 다각형의 내심, 즉 내접원이 존재하기 위한 조건은 모든 변까지의 거리가 동일한 점이 존재하면 된다. 만약 그런 점이 존재할 경우, 그 점이 내심이 되며, 내심과 어떤 한 변까지의 거리가 내접원의 반지름이 된다. 참고로 이 조건은 모든 각의 이등분선이 한 점에서 만난다와 동치인 명제이다.

[[삼각형]]의 경우에는 반드시 내심이 존재하며, [[사각형]] 부터는 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있다. 사실 내접원 자체가 외접원에 비해서 약간 홀대를 받는 느낌이다. 당장 [[공원점]]에는 여러 조건이 존재하지만 내접원에 관한 조건은 몇 개 없다.{{ㅊ|안습}}

== 내접원만의 성질 ==
#삼각형의 각의 이등분선은 반드시 한 점에서 만난다.
#내접원의 반지름을 <math>r</math>이라 했을 때, 삼각형의 넓이는 <math>\frac{1}{2}r\left(a+b+c\right)</math>이다.
#<math>\overline{BC}=\alpha,\,\overline{AC}=\beta,\,\overline{AB}=\gamma</math>라 하고 각 꼭짓점까지의 [[벡터]]를 <math>\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}</math>라 했을 때, 내심의 벡터는 <math>\frac{\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}}{\alpha+\beta+\gamma}</math>이다.
#내접원은 삼각형의 세 변에 모두 접한다.
#각 꼭짓점에서 내접원에 그은 접선의 길이는 각각 <math>s-a,s-b,s-c</math>이다 (단, <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math>는 둘레의 절반).

=== 증명 ===
[[파일:내심.png]]

1.<math>\angle{A}</math>와 <math>\angle{B}</math>의 이등분선의 교점을 <math>I</math>라 하자. 또한, <math>I</math>에서 각변에 내린 수선의 발을 <math>D,E,F</math>라 하자. 그러면 <math>\triangle{IAE}\cong\triangle{IAF},\,\triangle{IBF}\cong\triangle{IBD}</math>(RHA 합동)이다. 따라서 <math>\overline{IE}=\overline{IF}=\overline{ID}</math>이다. 한편, <math>\angle{IEC}=\angle{IDC}=\angle{R},\,\overline{IC}</math> 공통 이므로 <math>\triangle{ICE}\cong\triangle{ICD}</math>(RHS 합동)이다. 따라서 <math>\angle{ICE}=\angle{ICD}</math>이다.

2. <math>S_{\triangle{ABC}}=S_{\triangle{AIB}}+S_{\triangle{BIC}}+S_{\triangle{CIA}}=\frac{1}{2}\left(ar+br+cr\right)=\frac{1}{2}r\left(a+b+c\right)</math>.

3.각 <math>A</math>의 이등분선이 <math>\overline{BC}</math>와 만나는 점을 <math>P</math>라 하자. 그럼<math>\vec{AP}</math>는 <math>\vec{AB},\vec{AC}</math>를 <math>\gamma:\beta</math>로 내분한 벡터이다. 따라서 <math>\vec{AP}=\frac{\gamma\vec{AC}+\beta\vec{AB}}{\beta+\gamma}</math>. 한편, <math>\left\|\vec{BP}\right\|</math>는 [[각의 이등분선 정리]]에 의해 <math>\frac{\gamma\alpha}{\beta+\gamma}</math>이다. 내심 <math>I</math>는 <math>\vec{AP}</math> 위에 있고, 길이의 비는 다시 한번 [[각의 이등분선 정리]]에 의해 <math>\frac{\gamma}{\gamma+\left\|\vec{BP}\right\|}=\frac{\beta+\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}</math>이다. 따라서 <math>\vec{AI}=\frac{\beta+\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}\times\vec{AP}=\frac{\gamma\vec{AC}+\beta\vec{AB}}{\alpha+\beta+\gamma}</math>이다. 이제 <math>\vec{OI}=\vec{OA}+\vec{AI}=\vec{a}+\vec{AI},\,\vec{AC}=\vec{c}-\vec{a},\,\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}</math>를 이용하여 정리하면 <math>\vec{OI}=\frac{\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}}{\alpha+\beta+\gamma}</math>이다.

4. 생략

5. 한 꼭짓점에서 원에 그은 접선의 길이는 같다는 성질을 사용한다. <math>\overline{AF}=x</math>라 두자. 그럼 <math>\overline{FB}=\overline{BD}=c-x,\,\overline{DC}=\overline{CE}=a-\left(c-x\right)=a-c+x,\,\overline{AE}=b-\left(a-c+x\right)=b-a+c-x=x</math>. 이 식을 <math>x</math>에 관해 풀면, <math>x=\frac{-a+b+c}{2}=s-a</math>이다. 다른 접선에 대해서도 같은 방법으로 증명이 가능하다.

== 기타 성질 ==
*기하학에서의 [[오일러의 정리]]에 따르면 [[외심]]과 내심 사이의 거리는 <math>\sqrt{R\left(R-2r\right)}</math>이다 (<math>R</math>은 외접원의 반지름). 여기서 내접원의 반지름은 외접원의 반지름의 길이의 절반 이하라는 사실을 알 수 있다. 등호는 외심과 내심이 일치할 때 성립한다.
*[[사각형]]의 내심이 존재할 조건은 항목을 참조하자.
*내접원은 [[구점원]]과 접한다 ([[포이어바흐 정리]]). 또한, 내접원과 구점원의 접점을 포이어바흐 점이라 부른다.
*방접원의 반지름을 <math>r_a,r_b,r_c</math>라 하면, <math>\frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}</math>가 성립한다. 증명은 [[방심]] 참조.

== 관련 항목 ==
*[[삼각형]]
*[[외심]]
*[[무게중심]]
*[[수심]]
*[[방심]]

[[분류:기하학]]