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{{ | '''기하학'''(幾何學, {{llang|el|γεωμετρία}}, {{llang|en|Geometry}})은 [[공간]]에 있는 [[도형]]이나 대상들의 [[치수]], [[모양]], 상대적 [[위치]] 등을 연구하는 [[수학]]의 한 분야이다. 기하학이 다루는 대상으로는 [[점]], [[선]], [[면]], 도형, 공간과 같은 것이 있다. <ref>Howard Eves, 허민·오혜영 역, 《수학의 기초와 기본 개념》, 〈제4장 힐베르트의 기초〉, 경문사, {{ISBN|89-7282-217-5}} </ref> | ||
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== 어원 == | |||
기하학을 뜻하는 영어 단어 "geometry"는 땅을 뜻하는 그리스어 단어 γε(게)와 측정하다를 뜻하는 그리스어 단어 μετρία(메트리아)를 합하여 만든 말로서 [[고대 그리스]]에서부터 사용되었다.<ref>[http://www.etymonline.com/index.php?allowed_in_frame=0&search=geometry&searchmode=none geometry], Online Etymology Dictionary</ref> 기하(幾何)라는 말은 [[명나라]]의 [[서광계]]가 게오메트리아를 "얼마인가?"를 뜻하는 중국어 지허({{zh|t=几何|s=幾何| p=jǐhé}}로 음차하였다. [[마태오 리치]]가 [[에우클레이데스]]의 《[[에우클레이데스의 원론|기하원론]]》을 번역하며 기하를 제목으로 삼아 널리 쓰이게 되었다.<ref>김학순, [http://librekim.khan.kr/606 세상을 바꾼 책 이야기 (40) 유클리드의 기하학 원론], [[경향신문]], 2015년 3월 2일</ref> | |||
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기하학이 다루는 대상은 추상적인 [[정의 (의미)|정의]](定義)에 의해 가정된 것이다. 예를 들어 [[점]]은 에우클레이데스가 위치만을 나타내며 넓이나 부피가 없는 것으로 정의한 이래 그와 같은 의미로 사용되어 왔다. 이 외에도 [[선분]], [[각도]] 등과 같은 기본적인 기하학의 대상들 역시 합당한 정의가 필요하다. 이와 같은 기본적인 대상이 정의되면, 그를 바탕으로 [[도형]], [[곡선]]과 같은 대상도 기본적인 대상을 사용하여 정의할 수 있다. 예를 들어 [[원]]은 하나의 정점에서부터 동일한 거리에 놓여 있는 점들의 [[집합]]이라고 정의된다. 한편, 모든 기하학을 아우를 수 있도록 수학적으로 기하학을 정의하려는 시도는 성공하지 못하였다. [[오즈월드 베블런]]은 “수학의 한 분야가 기하학이라고 불리는 까닭은 그 이름이 많은 유능한 사람들에게 정서적으로나 전통적으로 매우 근사하게 보이기 때문이다. | 기하학이 다루는 대상은 추상적인 [[정의 (의미)|정의]](定義)에 의해 가정된 것이다. 예를 들어 [[점]]은 에우클레이데스가 위치만을 나타내며 넓이나 부피가 없는 것으로 정의한 이래 그와 같은 의미로 사용되어 왔다. 이 외에도 [[선분]], [[각도]] 등과 같은 기본적인 기하학의 대상들 역시 합당한 정의가 필요하다. 이와 같은 기본적인 대상이 정의되면, 그를 바탕으로 [[도형]], [[곡선]]과 같은 대상도 기본적인 대상을 사용하여 정의할 수 있다. 예를 들어 [[원 (도형)|원]]은 하나의 정점에서부터 동일한 거리에 놓여 있는 점들의 [[집합]]이라고 정의된다. 한편, 모든 기하학을 아우를 수 있도록 수학적으로 기하학을 정의하려는 시도는 성공하지 못하였다. [[오즈월드 베블런]]은 “수학의 한 분야가 기하학이라고 불리는 까닭은 그 이름이 많은 유능한 사람들에게 정서적으로나 전통적으로 매우 근사하게 보이기 때문이다.”라고 언급하였다.<ref>제임스 이오안, 노태복 역, 《오일러에서 노이만까지 인물로 읽는 현대 수학사 60장면 2》, 살림, 2008년, {{ISBN|978-89522-1028-9}}, 223쪽</ref> | ||
기하학의 대상이 정의되면 이를 바탕으로 공리를 설정할 수 있다. [[공리]]는 기하학의 대상들이 갖는 기본 성질로서, 자명하다고 여겨지는 가장 기초적인 명제이다. 따라서, 공리는 증명의 대상이 아닌 것으로 간주된다. 에우클레이데스는 《원론》을 집필하면서 다음과 같은 5 가지의 기하학 공리를 제시하였다.<ref>과학동아편집실, 《수학자를 알면 공식이 보인다》, 성우, 2002년, ISBN 978-89889-5071-5, 33쪽</ref> 이 공리는 [[유클리드 기하학]]에서 여전히 사용된다. | 기하학의 대상이 정의되면 이를 바탕으로 공리를 설정할 수 있다. [[공리]]는 기하학의 대상들이 갖는 기본 성질로서, 자명하다고 여겨지는 가장 기초적인 명제이다. 따라서, 공리는 증명의 대상이 아닌 것으로 간주된다. 에우클레이데스는 《원론》을 집필하면서 다음과 같은 5 가지의 기하학 공리를 제시하였다.<ref>과학동아편집실, 《수학자를 알면 공식이 보인다》, 성우, 2002년, {{ISBN|978-89889-5071-5}}, 33쪽</ref> 이 공리는 [[유클리드 기하학]]에서 여전히 사용된다. | ||
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에우클레이데스는 《원론》의 모든 증명을 공리만을 사용하여 해결하려 하였다. 그러나, 원론에서 거론되는 첫 문제인 정삼각형의 작도부터 에우클레이데스가 간과한 점이 발견된다. 유한한 길이를 갖는 선분 AB를 반지름으로 하는 두 원을 그렸을 때, 두 원이 만나는 점과 점 A, B를 연결하면 [[정삼각형]]을 그릴 수 있다는 에우클레이데스의 증명은 두 원이 만난다는 것을 공리 만으로는 증명할 수 없다. 그림을 그려보면 자명해 보이지만, 그 자체는 공리가 아니기 때문에 증명이 필요하다. 이 문제가 올바르려면 공리를 추가해야 한다.<ref>장우석, 《수학 철학에 미치다》, 숨비소리, 2008년, ISBN 978-89932-6501-9, 43-44쪽</ref> 현대의 기하학자들은 이 원들이 만난다는 주장을 정당화하기 위해 ‘연속성 공준’을 추가해야 한다고 생각한다.<ref>윌리엄 던햄, 조정수 역, 《수학의 천재들》, 경문사, 2009년, ISBN 89-7282-737-1, 82쪽</ref> 이와 같이 자명해 보이는 것이라 할 지라도 공리계 내에서는 자체적인 모순점이 없어야 하기 때문에 기존의 공리계 역시 검토가 필요하다. 힐베르트는 유클리트기하학의 공리계를 면밀히 다시 검토하여 [[힐베르트 공리계]]를 정리하였다. | 에우클레이데스는 《원론》의 모든 증명을 공리만을 사용하여 해결하려 하였다. 그러나, 원론에서 거론되는 첫 문제인 정삼각형의 작도부터 에우클레이데스가 간과한 점이 발견된다. 유한한 길이를 갖는 선분 AB를 반지름으로 하는 두 원을 그렸을 때, 두 원이 만나는 점과 점 A, B를 연결하면 [[정삼각형]]을 그릴 수 있다는 에우클레이데스의 증명은 두 원이 만난다는 것을 공리 만으로는 증명할 수 없다. 그림을 그려보면 자명해 보이지만, 그 자체는 공리가 아니기 때문에 증명이 필요하다. 이 문제가 올바르려면 공리를 추가해야 한다.<ref>장우석, 《수학 철학에 미치다》, 숨비소리, 2008년, {{ISBN|978-89932-6501-9}}, 43-44쪽</ref> 현대의 기하학자들은 이 원들이 만난다는 주장을 정당화하기 위해 ‘연속성 공준’을 추가해야 한다고 생각한다.<ref>윌리엄 던햄, 조정수 역, 《수학의 천재들》, 경문사, 2009년, {{ISBN|89-7282-737-1}}, 82쪽</ref> 이와 같이 자명해 보이는 것이라 할 지라도 공리계 내에서는 자체적인 모순점이 없어야 하기 때문에 기존의 공리계 역시 검토가 필요하다. 힐베르트는 유클리트기하학의 공리계를 면밀히 다시 검토하여 [[힐베르트 공리계]]를 정리하였다. | ||
공리를 자명하다고 여기는 것은 공리 자체가 결정불가능한 것임을 의미한다. 즉, 공리는 조건에 따라 참일 수도 거짓일 수도 있다. 따라서 기존의 공리계를 변형하여 새로운 공리계를 구성할 수 있고, 이렇게 구성된 공리계도 자체적인 모순이 없다면 얼마든지 사용될 수 있다. [[비유클리드 기하학]]의 여러 분야에서는 이를 이용하여 공리를 변형하거나 추가하여 사용한다. 예를 들어 [[리만 기하학]]은 평행선 공리를 다시 정의하였다. 쿠르트 괴델은 결정 불가능한 공리계에 얼마든지 많은 결정 불가능한 공리를 더 추가할 수 있다는 불완전성의 정리를 증명하였다.<ref>이진경, 《수학의 몽상》, 푸른숲, 2000년, {{ISBN|978-89718-4267-6}}, 274-275쪽</ref> | |||
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2020년 6월 22일 (월) 22:14 판
기하학(幾何學, 그리스어: γεωμετρία, 영어: Geometry)은 공간에 있는 도형이나 대상들의 치수, 모양, 상대적 위치 등을 연구하는 수학의 한 분야이다. 기하학이 다루는 대상으로는 점, 선, 면, 도형, 공간과 같은 것이 있다. [1]
어원
기하학을 뜻하는 영어 단어 "geometry"는 땅을 뜻하는 그리스어 단어 γε(게)와 측정하다를 뜻하는 그리스어 단어 μετρία(메트리아)를 합하여 만든 말로서 고대 그리스에서부터 사용되었다.[2] 기하(幾何)라는 말은 명나라의 서광계가 게오메트리아를 "얼마인가?"를 뜻하는 중국어 지허(틀:Zh로 음차하였다. 마태오 리치가 에우클레이데스의 《기하원론》을 번역하며 기하를 제목으로 삼아 널리 쓰이게 되었다.[3]
역사
이와 관련한 주제는 기하학의 역사에서 다룹니다.주요 개념
정의와 공리
기하학이 다루는 대상은 추상적인 정의(定義)에 의해 가정된 것이다. 예를 들어 점은 에우클레이데스가 위치만을 나타내며 넓이나 부피가 없는 것으로 정의한 이래 그와 같은 의미로 사용되어 왔다. 이 외에도 선분, 각도 등과 같은 기본적인 기하학의 대상들 역시 합당한 정의가 필요하다. 이와 같은 기본적인 대상이 정의되면, 그를 바탕으로 도형, 곡선과 같은 대상도 기본적인 대상을 사용하여 정의할 수 있다. 예를 들어 원은 하나의 정점에서부터 동일한 거리에 놓여 있는 점들의 집합이라고 정의된다. 한편, 모든 기하학을 아우를 수 있도록 수학적으로 기하학을 정의하려는 시도는 성공하지 못하였다. 오즈월드 베블런은 “수학의 한 분야가 기하학이라고 불리는 까닭은 그 이름이 많은 유능한 사람들에게 정서적으로나 전통적으로 매우 근사하게 보이기 때문이다.”라고 언급하였다.[4]
기하학의 대상이 정의되면 이를 바탕으로 공리를 설정할 수 있다. 공리는 기하학의 대상들이 갖는 기본 성질로서, 자명하다고 여겨지는 가장 기초적인 명제이다. 따라서, 공리는 증명의 대상이 아닌 것으로 간주된다. 에우클레이데스는 《원론》을 집필하면서 다음과 같은 5 가지의 기하학 공리를 제시하였다.[5] 이 공리는 유클리드 기하학에서 여전히 사용된다.
“
- 임의의 서로 다른 두 점 P, Q에 대해 두 점을 지나는 직선은 유일하다.
- 임의의 두 선분 AB, CD에 대해 B가 A와 E 사이에 위치하고 선분 BE의 길이가 선분 CD의 길이와 같게 되는 점 E는 유일하다.
- 점 O를 정점으로 하고 반지름이 OP인 원을 그릴 수 있다.
- 모든 직각은 합동이다.
- 하나의 직선 위에 있지 않은 점 P를 지나는 평행선은 유일하다.
“
에우클레이데스는 《원론》의 모든 증명을 공리만을 사용하여 해결하려 하였다. 그러나, 원론에서 거론되는 첫 문제인 정삼각형의 작도부터 에우클레이데스가 간과한 점이 발견된다. 유한한 길이를 갖는 선분 AB를 반지름으로 하는 두 원을 그렸을 때, 두 원이 만나는 점과 점 A, B를 연결하면 정삼각형을 그릴 수 있다는 에우클레이데스의 증명은 두 원이 만난다는 것을 공리 만으로는 증명할 수 없다. 그림을 그려보면 자명해 보이지만, 그 자체는 공리가 아니기 때문에 증명이 필요하다. 이 문제가 올바르려면 공리를 추가해야 한다.[6] 현대의 기하학자들은 이 원들이 만난다는 주장을 정당화하기 위해 ‘연속성 공준’을 추가해야 한다고 생각한다.[7] 이와 같이 자명해 보이는 것이라 할 지라도 공리계 내에서는 자체적인 모순점이 없어야 하기 때문에 기존의 공리계 역시 검토가 필요하다. 힐베르트는 유클리트기하학의 공리계를 면밀히 다시 검토하여 힐베르트 공리계를 정리하였다.
공리를 자명하다고 여기는 것은 공리 자체가 결정불가능한 것임을 의미한다. 즉, 공리는 조건에 따라 참일 수도 거짓일 수도 있다. 따라서 기존의 공리계를 변형하여 새로운 공리계를 구성할 수 있고, 이렇게 구성된 공리계도 자체적인 모순이 없다면 얼마든지 사용될 수 있다. 비유클리드 기하학의 여러 분야에서는 이를 이용하여 공리를 변형하거나 추가하여 사용한다. 예를 들어 리만 기하학은 평행선 공리를 다시 정의하였다. 쿠르트 괴델은 결정 불가능한 공리계에 얼마든지 많은 결정 불가능한 공리를 더 추가할 수 있다는 불완전성의 정리를 증명하였다.[8]
관련 문서
각주
- ↑ Howard Eves, 허민·오혜영 역, 《수학의 기초와 기본 개념》, 〈제4장 힐베르트의 기초〉, 경문사, ISBN 89-7282-217-5
- ↑ geometry, Online Etymology Dictionary
- ↑ 김학순, 세상을 바꾼 책 이야기 (40) 유클리드의 기하학 원론, 경향신문, 2015년 3월 2일
- ↑ 제임스 이오안, 노태복 역, 《오일러에서 노이만까지 인물로 읽는 현대 수학사 60장면 2》, 살림, 2008년, ISBN 978-89522-1028-9, 223쪽
- ↑ 과학동아편집실, 《수학자를 알면 공식이 보인다》, 성우, 2002년, ISBN 978-89889-5071-5, 33쪽
- ↑ 장우석, 《수학 철학에 미치다》, 숨비소리, 2008년, ISBN 978-89932-6501-9, 43-44쪽
- ↑ 윌리엄 던햄, 조정수 역, 《수학의 천재들》, 경문사, 2009년, ISBN 89-7282-737-1, 82쪽
- ↑ 이진경, 《수학의 몽상》, 푸른숲, 2000년, ISBN 978-89718-4267-6, 274-275쪽
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