로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.중간의 다른 편집과 충돌하여 이 편집을 되돌릴 수 없습니다. 스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!'''기하학'''(幾何學, {{그리스어|γεωμετρία}}, {{영어|Geometry}})은 [[공간]]에 있는 [[도형]]이나 대상들의 [[치수]], [[모양]], 상대적 [[위치]] 등을 연구하는 [[수학]]의 한 분야이다. 기하학이 다루는 대상으로는 [[점]], [[선 (기하학)|선]], [[면 (기하학)|면]], 도형, 공간과 같은 것이 있다.<ref>Howard Eves, 허민·오혜영 역, 《수학의 기초와 기본 개념》, 〈제4장 힐베르트의 기초〉, 경문사, {{ISBN|89-7282-217-5}}</ref> == 어원 == 기하학을 뜻하는 영어 단어 "geometry"는 땅을 뜻하는 그리스어 단어 γε(게)와 측정하다를 뜻하는 그리스어 단어 μετρία(메트리아)를 합하여 만든 말로서 [[고대 그리스]]에서부터 사용되었다.<ref>[http://www.etymonline.com/index.php?allowed_in_frame=0&search=geometry&searchmode=none geometry], Online Etymology Dictionary</ref> 기하(幾何)라는 말은 [[명나라]]의 [[서광계]]가 게오메트리아를 "얼마인가?"를 뜻하는 중국어 지허({{중국어|几何|jǐhé|t=幾何}})로 음차하였다. [[마태오 리치]]가 [[에우클레이데스]]의 《[[에우클레이데스의 원론|기하원론]]》을 번역하며 기하를 제목으로 삼아 널리 쓰이게 되었다.<ref>김학순, [http://librekim.khan.kr/606 세상을 바꾼 책 이야기 (40) 유클리드의 기하학 원론], [[경향신문]], 2015년 3월 2일</ref> == 역사 == {{본문|기하학의 역사}} <!-- 추후 재정리할 예정.--> == 주요 개념 == === 정의와 공리 === {{참고|공리|힐베르트 공리계}} 기하학이 다루는 대상은 추상적인 [[정의 (의미)|정의]](定義)에 의해 가정된 것이다. 예를 들어 [[점]]은 에우클레이데스가 위치만을 나타내며 넓이나 부피가 없는 것으로 정의한 이래 그와 같은 의미로 사용되어 왔다. 이 외에도 [[선분]], [[각도]] 등과 같은 기본적인 기하학의 대상들 역시 합당한 정의가 필요하다. 이와 같은 기본적인 대상이 정의되면, 그를 바탕으로 [[도형]], [[곡선]]과 같은 대상도 기본적인 대상을 사용하여 정의할 수 있다. 예를 들어 [[원 (도형)|원]]은 하나의 정점에서부터 동일한 거리에 놓여 있는 점들의 [[집합]]이라고 정의된다. 한편, 모든 기하학을 아우를 수 있도록 수학적으로 기하학을 정의하려는 시도는 성공하지 못하였다. [[오즈월드 베블런]]은 “수학의 한 분야가 기하학이라고 불리는 까닭은 그 이름이 많은 유능한 사람들에게 정서적으로나 전통적으로 매우 근사하게 보이기 때문이다.”라고 언급하였다.<ref>제임스 이오안, 노태복 역, 《오일러에서 노이만까지 인물로 읽는 현대 수학사 60장면 2》, 살림, 2008년, {{ISBN|978-89522-1028-9}}, 223쪽</ref> 기하학의 대상이 정의되면 이를 바탕으로 공리를 설정할 수 있다. [[공리]]는 기하학의 대상들이 갖는 기본 성질로서, 자명하다고 여겨지는 가장 기초적인 명제이다. 따라서, 공리는 증명의 대상이 아닌 것으로 간주된다. 에우클레이데스는 《원론》을 집필하면서 다음과 같은 5 가지의 기하학 공리를 제시하였다.<ref>과학동아편집실, 《수학자를 알면 공식이 보인다》, 성우, 2002년, {{ISBN|978-89889-5071-5}}, 33쪽</ref> 이 공리는 [[유클리드 기하학]]에서 여전히 사용된다. {{인용문| # 임의의 서로 다른 두 점 P, Q에 대해 두 점을 지나는 직선은 유일하다. # 임의의 두 선분 AB, CD에 대해 B가 A와 E 사이에 위치하고 선분 BE의 길이가 선분 CD의 길이와 같게 되는 점 E는 유일하다. # 점 O를 정점으로 하고 반지름이 OP인 원을 그릴 수 있다. # 모든 직각은 합동이다. # 하나의 직선 위에 있지 않은 점 P를 지나는 평행선은 유일하다. }} 에우클레이데스는 《원론》의 모든 증명을 공리만을 사용하여 해결하려 하였다. 그러나, 원론에서 거론되는 첫 문제인 정삼각형의 작도부터 에우클레이데스가 간과한 점이 발견된다. 유한한 길이를 갖는 선분 AB를 반지름으로 하는 두 원을 그렸을 때, 두 원이 만나는 점과 점 A, B를 연결하면 [[정삼각형]]을 그릴 수 있다는 에우클레이데스의 증명은 두 원이 만난다는 것을 공리 만으로는 증명할 수 없다. 그림을 그려보면 자명해 보이지만, 그 자체는 공리가 아니기 때문에 증명이 필요하다. 이 문제가 올바르려면 공리를 추가해야 한다.<ref>장우석, 《수학 철학에 미치다》, 숨비소리, 2008년, {{ISBN|978-89932-6501-9}}, 43-44쪽</ref> 현대의 기하학자들은 이 원들이 만난다는 주장을 정당화하기 위해 ‘연속성 공준’을 추가해야 한다고 생각한다.<ref>윌리엄 던햄, 조정수 역, 《수학의 천재들》, 경문사, 2009년, {{ISBN|89-7282-737-1}}, 82쪽</ref> 이와 같이 자명해 보이는 것이라 할 지라도 공리계 내에서는 자체적인 모순점이 없어야 하기 때문에 기존의 공리계 역시 검토가 필요하다. 힐베르트는 유클리트기하학의 공리계를 면밀히 다시 검토하여 [[힐베르트 공리계]]를 정리하였다. 공리를 자명하다고 여기는 것은 공리 자체가 결정불가능한 것임을 의미한다. 즉, 공리는 조건에 따라 참일 수도 거짓일 수도 있다. 따라서 기존의 공리계를 변형하여 새로운 공리계를 구성할 수 있고, 이렇게 구성된 공리계도 자체적인 모순이 없다면 얼마든지 사용될 수 있다. [[비유클리드 기하학]]의 여러 분야에서는 이를 이용하여 공리를 변형하거나 추가하여 사용한다. 예를 들어 [[리만 기하학]]은 평행선 공리를 다시 정의하였다. 쿠르트 괴델은 결정 불가능한 공리계에 얼마든지 많은 결정 불가능한 공리를 더 추가할 수 있다는 불완전성의 정리를 증명하였다.<ref>이진경, 《수학의 몽상》, 푸른숲, 2000년, {{ISBN|978-89718-4267-6}}, 274-275쪽</ref> == 관련 문서 == * 기하학의 분야 ** [[유클리드 기하학]] ** [[비유클리드 기하학]]: [[리만 기하학]] ** [[대수기하학]] ** [[해석기하학]] ** [[미분기하학]] ** [[사영기하학]] ** [[위상수학]] ** [[프랙탈]] {{각주}} {{수학 분야}} {{퍼온문서|기하학|15639094|일부}} [[분류:기하학| ]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ISBN (원본 보기) (준보호됨)틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:그리스어 (원본 보기) (준보호됨)틀:그리스어= (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:본문 (원본 보기) (준보호됨)틀:수학 분야 (편집) 틀:알림바 (원본 보기) (보호됨)틀:영어 (원본 보기) (준보호됨)틀:영어= (원본 보기) (준보호됨)틀:인용문 (원본 보기) (준보호됨)틀:중국어 (원본 보기) (준보호됨)틀:중국어= (원본 보기) (준보호됨)틀:중국어 번체= (원본 보기) (준보호됨)틀:참고 (원본 보기) (준보호됨)틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)틀:퍼온문서 (원본 보기) (준보호됨)이 문서는 다음의 숨은 분류 4개에 속해 있습니다: 분류:그리스어 표기를 포함한 문서 분류:영어 표기를 포함한 문서 분류:중국어 표기를 포함한 문서 분류:퍼온 문서