기체를 수많은 분자들의 집합으로 보고 이 기체 분자들의 운동을 통해서 기체의 성질을 설명하는 물리학 이론이다.
일반적으로 기체의 경우 기체 분자간의 상호 작용 크기가 액체나 고체 내부에 있는 분자 사이의 상호작용 보다 작으므로 여기서는 수학적 계산을 단순화 하기 위해 이상기체로 가정하고 계산한다.
이상 기체
기체 분자 운동론에서 모든 기체는 다음의 성질을 만족시키는 이상 기체라고 가정한다.
- 모든 기체 분자는 서로에게 힘을 주고받지 않는다. 즉, 충돌하여 궤적이 바뀌지 않는다.
- 모든 기체 분자는 용기의 벽과 충돌할 때 완전 탄성 충돌을 한다.
- 모든 기체 분자는 크기가 없고 질량만 있는 질점으로 행동한다.
- 모든 기체 분자는 서로 반응하지 않는다.
- 모든 기체 분자는 액체나 고체 등등으로 상전이하지 않는다.
단원자 분자인 이상 기체의 기체 분자 운동론의 수식
일단 부피가 V 이고 가로 세로 높이가 a 인 정육면체 상자 안에서 질량 m 인 기체 분자 하나가 이리저리 날아다니고 있다고 해 보자. 이 때 분자의 가로 방향 속력을 vx, 세로 방향 속력을 vy, 높이 방향 속력을 vz 라고 한다. 이 중에서 가로 방향의 운동만 우선 생각해 보자. 그러면 이 분자가 한쪽 벽에 뽥 부딪쳤다가 튕겨나올 때 가로 방향 성분의 운동량 변화는 완전 탄성 충돌을 하므로 2mvx 가 된다. 그리고 가로 길이가 a 이므로 기체 분자가 왔다갔다 왕복하는 데 걸리는 시간은 [math]\displaystyle{ \frac{2a}{v_x} }[/math] 가 되고, 따라서 충돌에 의해 한쪽 벽에 가해지는 힘은 충격량, 즉 [math]\displaystyle{ \frac{\Delta p}{\Delta t}= \frac{2mv_x}{\frac{2a}{v_x}}=\frac{mv_x^2}{a} }[/math] 가 된다. 압력은 면적에 반비례하므로 [math]\displaystyle{ \frac{F}{A}=\frac{mv_x^2}{a^3}=\frac{mv_x^2}{V} }[/math]이다. 기체 분자 N 개에 의한 총 압력은 [math]\displaystyle{ P_x = \frac{Nmv_x^2}{V} }[/math] 가 된다.
그런데 생각해 보면, 기체 분자들은 아보가드로 수라는 개념이 나올 정도로 무수히 많이 존재하는데, 그 무한정 많은 기체 분자들의 운동을 다 평균을 내 보면 기체 분자들이 가로 세로 높이 방향 중 어느 쪽만 특별히 빠를 이유가 없으므로, 각 방향의 평균 속력은 같다고 해도 된다. 따라서 분자의 평균 속력 [math]\displaystyle{ v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 = 3v_x^2 }[/math] 이라고 할 수 있다. 또한 정육면체 상자 중 어느 한 면의 압력만 특별히 다를 이유가 없으므로, 전체 압력은 각 면의 압력과 같고, [math]\displaystyle{ P = P_x = P_y = P_z }[/math]이다. 따라서 앞 식에 대입하면 [math]\displaystyle{ P = \frac{Nmv^2}{3V} }[/math] 이고, 한편 보일, 샤를의 법칙 등에 의해 정립된 이상 기체 식에 의하면 PV = nRT 인바, 즉 [math]\displaystyle{ PV = nRT = \frac{Nmv^2}{3} }[/math]을 얻는다.
그리고 기체 분자 1몰에 대해서 식을 적용하면, 1몰에 들어 있는 분자 수는 아보가드로 수인 N0 이므로 [math]\displaystyle{ RT = \frac{N_0 mv^2}{3} }[/math] 이다. 이에 의해 기체 분자 하나의 운동 에너지는 [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} mv^2 = \frac{3}{2} \frac{R}{N_0} T }[/math]가 되며, 볼츠만 상수 k = R/N0 로 정의하면 운동 에너지는 [math]\displaystyle{ \frac{3}{2} kT }[/math] 가 된다.
이번에는 또다른 변수인 기체의 온도 T에 대해 생각해 보자. 식을 다음과 같이 표현함으로써 온도의 의미를 더 잘 이해할 수 있다.
[math]\displaystyle{ PV = \frac{2}{3}N\left(\frac{1}{2}{m}_{0}{v}^{2} \right) }[/math]
이 식을 이상기체의 상태방정식(PV = nRT)와 비교해보자. 이 두식의 우변을 같게 하면 다음과 같은 식을 얻게 된다.
[math]\displaystyle{ T = \frac{2}{3k}\left(\frac{1}{2}{m}_{0}{v}^{2} \right) }[/math]
이 결과는 온도가 분자의 평균 운동 에너지를 나타내는 직접적인 척도임을 말해 준다. 이 식을 정리하면 다음과 같이 분자의 병진 운동 에너지를 온도와 연관시킬 수 있다.
[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}{m}_{0}{v}^{2} = \frac{3}{2}kT }[/math]
더 자세한 것은 추가바람.