기체 분자 운동론 편집하기

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[[분류:열역학]][[분류:화학]]

기체를 수많은 '''[[분자]]'''들의 집합으로 보고 이 기체 분자들의 운동을 통해서 기체의 성질을 설명하는 [[물리학]] 이론이다.

일반적으로 기체의 경우 기체 분자간의 상호 작용 크기가 액체나 고체 내부에 있는 분자 사이의 상호작용 보다 작으므로 여기서는 수학적 계산을 단순화 하기 위해 이상기체로 가정하고 계산한다.

== 이상 기체 ==
기체 분자 운동론에서 모든 기체는 다음의 성질을 만족시키는 [[이상 기체]]라고 가정한다.
*모든 기체 분자는 서로에게 힘을 주고받지 않는다. 즉, [[충돌]]하여 궤적이 바뀌지 않는다.
*모든 기체 분자는 용기의 벽과 충돌할 때 완전 탄성 충돌을 한다.
*모든 기체 분자는 크기가 없고 질량만 있는 [[질점]]으로 행동한다.
*모든 기체 분자는 서로 반응하지 않는다.
*모든 기체 분자는 액체나 고체 등등으로 상전이하지 않는다.

== 단원자 분자인 이상 기체의 기체 분자 운동론의 수식 ==
일단 부피가 V 이고 가로 세로 높이가 a 인 정육면체 상자 안에서 질량 m 인 기체 분자 하나가 이리저리 날아다니고 있다고 해 보자. 이 때 분자의 가로 방향 속력을 v<sub>x</sub>, 세로 방향 속력을 v<sub>y</sub>, 높이 방향 속력을 v<sub>z</sub> 라고 한다. 그러면 이 분자가 한쪽 벽에 뽥 부딪쳤다가 튕겨나올 때 가로 방향 성분의 운동량 변화는 완전 탄성 충돌을 하므로 2mv<sub>x</sub> 가 된다. 그리고 가로 길이가 a 이므로 기체 분자가 왔다갔다 왕복하는 데 걸리는 시간은 <math>\frac{2a}{v_x}</math> 가 되고, 따라서 충돌에 의해 한쪽 벽에 가해지는 힘은 충격량, 즉 <math>\frac{p}{t}= \frac{2mv_x}{\frac{2a}{v_x}}=\frac{mv_x^2}{a}</math> 가 된다. 압력은 면적에 반비례하므로 <math>\frac{F}{A}=\frac{mv_x^2}{a^3}=\frac{mv_x^2}{V}</math>이다. 기체 분자 N 개에 의한 총 압력은 <math>P_x = \frac{Nmv_x^2}{V}</math> 가 된다.

그런데 생각해 보면, 기체 분자들은 [[아보가드로 수]]라는 개념이 나올 정도로 무수히 많이 전재하는데, 그 무한정 많은 기체 분자들의 운동을 다 평균을 내 보면 기체 분자들이 가로 세로 높이 방향 중 어느 쪽만 특별히 빠를 이유가 없으므로, 각 방향의 평균 속력은 같다고 해도 된다. 따라서 분자의 평균 속력 <math>v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 = 3v_x^2</math> 이라고 할 수 있다. 또한 정육면체 상자 중 어느 한 면의 압력만 특별히 다를 이유가 없으므로, 전체 압력은 각 면의 압력과 같고, <math>P = P_x = P_y = P_z</math>이다. 따라서 앞 식에 대입하면 <math>P = \frac{Nmv^2}{3V}</math> 이고, 한편 보일, 샤를의 법칙 등에 의해 정립된 이상 기체 식에 의하면 PV = nRT 인바, 즉 <math>PV = nRT = \frac{Nmv^2}{3}</math>을 얻는다.

그리고 기체 분자 1몰에 대해서 식을 적용하면, 1몰에 들어 있는 분자 수는 아보가드로 수인 N<sub>0</sub> 이므로 <math>RT = \frac{N_0 mv^2}{3}</math> 이다. 이에 의해 기체 분자 하나의 운동 에너지는 <math>\frac{1}{2} mv^2 = \frac{3}{2} \frac{R}{N_0} T</math>가 되며, 볼츠만 상수 k = R/N<sub>0</sub> 로 정의하면 운동 에너지는 <math>\frac{3}{2} kT</math>  가 된다.


이번에는 또다른 변수인 기체의 온도 T에 대해 생각해 보자. 식을 다음과 같이 표현함으로써 온도의 의미를 더 잘 이해할 수 있다.

<math>PV = \frac{2}{3}N\left(\frac{1}{2}{m}_{0}{v}^{2} \right)</math>

이 식을 이상기체의 상태방정식(PV = nRT)와 비교해보자.
이 두식의 우변을 같게 하면 다음과 같은 식을 얻게 된다.

<math>T = \frac{2}{3k}\left(\frac{1}{2}{m}_{0}{v}^{2} \right)</math>

이 결과는 온도가 분자의 평균 운동 에너지를 나타내는 직접적인 척도임을 말해 준다. 이 식을 정리하면 다음과 같이 분자의 병진 운동 에너지를 온도와 연관시킬 수 있다.

<math>\frac{1}{2}{m}_{0}{v}^{2} = \frac{3}{2}kT</math>



더 자세한 것은 추가바람.