로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!'''금속비'''(Metallic mean)는 [[황금비]]의 확장된 개념이다. 어떤 양수의 제곱이 원래 수의 자연수 배와 1의 합으로 나타날 때, 이 값을 금속비라 한다. == 정의 == 직사작형이 주어져 있고 긴 쪽과 짧은 쪽의 비를 <math>\varphi_n</math>이라 하자. 이 직사각형에서 짧은 쪽을 변으로 하는 정사각형 <math>n</math>개를 잘라낸 후, 남은 직사각형이 원래 것과 닮음이다. 즉 원래 직사각형의 세로를 1, 가로를 <math>\varphi_n</math>이라 할 때, 정사각형을 잘라낸 후에는 세로 1, 가로 <math>\varphi_n-n</math>이다. 두 직사각형이 닮은이 되려면 <math>1:\varphi_n=(\varphi_n-n):1</math>을 만족한다. 따라서 이 조건식을 이차방정식으로 정리하면, <math>\varphi_n</math>은 방정식 <math>x^2-nx-1=0</math>의 양의 실근이다. 방정식을 직접 풀면 <math>\varphi_n=\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}</math>이고, <math>n=1</math>일 때는 익숙한 값인 [[황금비]]가 된다. * [[연분수]] 표현: <math>\varphi_n=n+\frac{1}{\varphi_n}=n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\cdots}}}} =[n; n,n,n,n,\cdots]</math> * [[다중근호]] 표현: <math>\varphi =\sqrt{n+\varphi} =\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\cdots}}}}</math> * <math>P=n, Q=-1</math>인 제 1, 2종 [[뤼카 수열]]의 이웃한 두 항 사이의 비의 극한으로도 표현된다. ** <math>\varphi_n =\lim_{k \to \infty}\frac{U_k(n, -1)}{U_{k-1}(n, -1)} =\lim_{k \to \infty}\frac{V_k(n, -1)}{V_{k-1}(n, -1)}</math> == 대표적인 값 == * [[황금비]](golden ratio): <math>\varphi_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618033989</math> ** [[피보나치 수열]]의 이웃한 두 항 사이의 비의 극한과 같다. ** [[정오각형]]의 변의 길이와 대각선의 길이의 비로 표현된다. * 백은비<ref>'은 비율'이라고도 한다.</ref>(silver ratio): <math>\varphi_2=1+\sqrt{2} \approx 2.414213562</math> ** [[펠 수열]]의 이웃한 두 항 사이의 비의 극한과 같다. ** [[정팔각형]]의 변의 길이와 두번째로 긴 대각선의 길이의 비로 표현된다. * 청동비(bronze ratio): <math>\varphi_3=\frac{3+\sqrt{13}}{2} \approx 3.302775638</math> * <math>\varphi_4=\varphi_1^3=2+\sqrt{5} \approx 4.236067978</math> * <math>\varphi_5=\frac{5+\sqrt{29}}{2} \approx 5.192582404</math> <math>n=4, 5, 6, 7, \cdots</math>인 경우 구리, 니켈, 주석, 알루미늄, … 비율이란 별칭도 있지만 공식적으로 쓰이지는 않는다. == 삼각함수 표현 == 코탄젠트의 배각 공식 <math>\cot 2\theta =\frac{\cot^2\theta-1}{2\cot\theta}</math>을 불러온다. 여기서 <math>\cot 2\theta=\frac{n}{2}</math>으로 치환하면 <math>n \cot\theta=\cot^2\theta-1</math>이므로, 금속비의 정의에 의해 <math>\cot\theta= \varphi_n</math>임을 알 수 있다. 이때 <math>2\theta=\operatorname{arccot} \frac{n}{2}</math>이므로, <math>\varphi_n =\cot \left(\frac{1}{2} \operatorname{arccot}\frac{n}{2} \right)</math>이다. 특히, 백은비의 경우 <math>\varphi_2 =\cot \left(\frac{1}{2} \operatorname{arccot} 1 \right) =\cot \frac{\pi}{8} =\tan \frac{3\pi}{8}</math>이다. 그밖에 황금비는 <math>\varphi_1=2\cos\frac{\pi}{5}</math>, 청동비는 <math>\varphi_3=8\cos\frac{\pi}{13}\cos\frac{3\pi}{13}\cos\frac{4\pi}{13}</math>으로 나타낼 수 있다. {{각주}} {{수}} [[분류:수]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:수 (편집) 틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)