군 (수학)

소개

군 (group)은 대충 말해, 덧셈 뺄셈이 가능한 집합이다. 즉, 어떤 집합에 정의된 적당한 추상적 연산이 몇가지 좋은 성질을 만족할 때 이걸 보고 "군"이라고 한다. 이 좋은 성질들은 다음과 같다:

• G의 원소들인 a와 b를 연산하면 다시 G의 원소가 된다. 즉, 연산에 대해 닫혀있다.

• a와 b의 연산을 a*b라고 쓰면, (a*b)*c=a*(b*c)가 된다. 이걸 요구하지 않으면 연산순서 때문에 a^n 같은걸 정의할 수 없어서 불편하다.

• 어떤 e라는 원소가 있어서 a*e=a, e*a=a가 된다. 이게 항등원이다. 곱셈에서의 1 같은 존재이며 덧셈에서의 0같은 존재이다.

• 각 원소 a에 대해서 a*c=e, c*a=e가 되는 c가 존재한다. 이게 역원이다. 곱셈에서의 1/x와 같은 존재이며 덧셈에서의 -x와 같은 존재이다.

예를 들어 {a, b}라는 집합을 두고 a+a=a, a+b=b+a=b, b+b=a 라고 정의하면 이것은 군이 된다.

왜 할까?

수학, 물리, 화학, 공학 등에서 추상 연산을 정의하고 분석하는 행위는 아주 자연스럽게 여기저기서 등장하는 상황이다. 그렇다면 매번 추상 연산이 나타난 그 구체적인 상황을 면밀히 분석하는 대신에, 추상 연산들을 직접 분석하면 얼마나 간편할까? 이것이 군이론의 시작이다. 추상 연산에 대한 정보를 미리 연구하고 분류해놓음으로써 여기저기서 나타나는 다양한 현상들을 한꺼번에 공략할 수 있는 것이다. 마치 "얼룩말 5마리와 돼지 8마리가 있으면 동물은 몇 마리가 있을까?" 라는 질문과 "몽쉘 5개와 칙촉 8개가 있으면 과자는 몇 개가 있을까?"라는 질문을 동시에 쉽게쉽게 대답하기 위해 숫자라는 개념이 나타난 것과 정확히 같은 맥락이다.

그렇다면 이상에서 말한 �추상적 연산 상황은 언제 등장할까? 다음과 같은 예가 있다:

• 루빅스 큐브를 맞출 때, "옆면을 90도 앞으로 돌린다", "가운데 면을 90도 뒤로 돌린다" 따위의 행위를 원소로 생각하여 이 원소들을 죄다 모은다. 이 집합에서 a와 b의 연산은 "a를 시행한 후, b를 시행한다"는 변환으로 정의하면 이런 행위의 모임은 군이 된다.

• 11같은 숫자를 고정해놓고, 1에서 10까지의 숫자를 죄다 모은다. 이 집합에서 a와 b의 연산은 a+b의 10에 대한 나머지로 정의하면 {1, 2, ... 10}은 군이 된다.

• n x n 실수/복소수 행렬들 중 행렬값이 0이 아닌 것들만 죄다 모은다. 이 집합에서 A와 B의 연산은 행렬곱 AB로 정의한다. 이렇게 되면 이 모임은 군이 된다. 여기서 행렬값이 0이 아닌 것을 고집한 이유는, A 나누기 B를 정의할 수 있어야 (A/B는 A와 B의 역행렬을 곱한 것으로 정의) 어엿한 군으로 인정해주기 때문이다.

• 화학/물리에서, 어떤 분자를 적당히 회전시켰을때 똑같은 모양이 되게 하는 회전변환을 원소로 생각하여 이 원소들을 죄다 모은다. 이 집합에서 원소간의 연산을 회전변환의 합성으로 정의하면 이것은 군이 된다.

• 이밖에도 공간의 모양을 공부하기 위해 호몰로지, 호모토피 군을 정의하거나, 적당한 체 (field)의 변환을 모아놓고 "갈루아 군" 등을 정의할 수 있다. 정말 군은 여기저기서 다 나타난다.

위의 글에서 명백하게 서술되어있지는 않지만, 군이론의 등장은 매우 다양한 새로운 결과들을 얻게 해 주었다. (어떤것들? 추가바람)

이하에서는 이제 뜬구름 잡는 소리를 그만하고 군이 정말 무엇인지에 대해 논할 것이다.

정의

군(群, group)이란 다음 세 가지 공리를 만족하는 집합 [math]\displaystyle{ G }[/math]와 이항연산 [math]\displaystyle{ · :G \times G → G }[/math]의 쌍 [math]\displaystyle{ (G, ·) }[/math]을 말한다.

1. 결합법칙을 만족한다. 그러니까 모든 [math]\displaystyle{ x, y, z \in G }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ (x·y)·z=x·(y·z) }[/math]가 된다.
2. 항등원이 존재한다. 그러니까 적당한 [math]\displaystyle{ e \in G }[/math]가 있어서 모든 [math]\displaystyle{ x \in G }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ e·x=x·e=x }[/math]를 만족한다. 항등원은 존재하면 유일하므로, 이 원소를 그냥 [math]\displaystyle{ e }[/math]로 적고, 혼동의 여지가 있을 때는 [math]\displaystyle{ e_G }[/math]로도 적는다.
3. 역원이 존재한다. 그러니까 모든 [math]\displaystyle{ x \in G }[/math]에 대해서 적당한 [math]\displaystyle{ y \in G }[/math]가 있어서 [math]\displaystyle{ x·y=y·x=e }[/math]가 된다. 역원도 존재하면 유일하므로, 이 원소를 그냥 [math]\displaystyle{ x^{−1} }[/math]로 적는다.

군의 연산은 보통 곱셈처럼 생각하며, 따라서 보통의 관습에 따라 [math]\displaystyle{ x·y = xy }[/math]처럼 적기도 한다. 아예 연산이 붙여쓰기(juxtaposition)라고 하는 경우도 있다. 이 경우 항등원은 1로도 많이 쓴다. 한편, 후술하는 아벨군의 경우에는 연산을 덧셈처럼 생각하고 표기도 [math]\displaystyle{ x+y }[/math]와 같이 하는 경우가 훨씬 많고, 이 경우 항등원은 0으로 많이 쓴다.

예

군의 대표적인 예로는 다음과 같은 것이 있다.

• 덧셈에 관해 군을 이루는 것
  • 정수 전체의 집합 [math]\displaystyle{ (\mathbb Z,+) }[/math], 유리수 전체의 집합 [math]\displaystyle{ (\mathbb Q,+) }[/math], 실수 전체의 집합 [math]\displaystyle{ (\mathbb R, +) }[/math], 복소수 전체의 집합 [math]\displaystyle{ (\mathbb C,+) }[/math].
  • 잉여군 [math]\displaystyle{ (\mathbb Z/n \mathbb Z, +) }[/math].
• 곱셈에 관해 군을 이루는 것
  • 단원군(Unit group) [math]\displaystyle{ (\mathbb Z^\times, ·) }[/math], [math]\displaystyle{ (\mathbb Q^\times, ·) }[/math], [math]\displaystyle{ (\mathbb R^\times, ·) }[/math], [math]\displaystyle{ (\mathbb C^\times, ·) }[/math].
  • 복소수의 1의 [math]\displaystyle{ n }[/math]제곱근의 군 [math]\displaystyle{ \mu_n(\mathbb C) =\{ z \in \mathbb C : z^n=1\} }[/math].
  • 복소수에서 단위원군(Circle group) [math]\displaystyle{ \mathbb{T} = \{ z \in \mathbb{C} : |z| = 1 \} }[/math]
  • 행렬군(Matrix group) [math]\displaystyle{ \operatorname{GL}(V) }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{SL}(V) }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{O}(n) }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{SO}(n) }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{U}(n) }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{SU}(n) }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{Sp}(n) }[/math].
• 그 밖의 것
  • 대칭군(Symmetric group) [math]\displaystyle{ S_n }[/math]
  • 교대군(Alternative group) [math]\displaystyle{ A_n }[/math]
  • 정이면체군(Dihedral group) [math]\displaystyle{ D_{2n} }[/math]
  • 갈루아군(Galois group) [math]\displaystyle{ Gal(K/F) }[/math].
  • 호모토피 군 (Homotopy Group) [math]\displaystyle{ \pi_n (X) }[/math]
  • 호몰로지 군 (Homology Group) [math]\displaystyle{ \H_n (X) }[/math]

군이 아닌 것의 예로는 자연수 전체의 집합을 들 수 있다. 자연수 전체의 집합은 덧셈에 대해서도, 곱셈에 대해서도 군이 아니다. 덧셈에 대해서는 항등원과 역원이 없고, 곱셈에 대해서는 역원이 없다. 즉, [math]\displaystyle{ (\mathbb N,+) }[/math]은 1번 공리만 만족하여 반군(semigroup)이고, [math]\displaystyle{ (\mathbb N,·) }[/math]은 1,2번 공리만 만족해서 모노이드(monoid)이다.

군의 종류

[math]\displaystyle{ G }[/math]가 군일 때,

• [math]\displaystyle{ G }[/math]가 아벨군(abelian group)이라는 것은 교환법칙이 성립하는 것이다. 그러니까 모든 [math]\displaystyle{ x, y \in G }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ xy=yx }[/math]가 성립한다.
  • 아벨군의 예: 위 군의 예 중 덧셈에 관해 군을 이루는 것 전부 및 아래 순환군.

• [math]\displaystyle{ G }[/math]가 순환군(cyclic group)이라는 것은 적당한 [math]\displaystyle{ a∈G }[/math]가 있어서 [math]\displaystyle{ \left\lt a \right\gt =G }[/math]인 것이다. 이는 모든 [math]\displaystyle{ x∈G }[/math]에 대해 적당한 정수 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 있어서 [math]\displaystyle{ x=a^n }[/math]꼴로 표현되는 것과 동치이다. 이때 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 생성자(generator)라고 한다. 순환군은 가장 간단한 형태의 군이고, 모든 순환군은 아벨군이다.
  • 순환군의 예: 자명군 [math]\displaystyle{ \{0 \} }[/math], 정수군 [math]\displaystyle{ ( \mathbb Z , + ) }[/math] , 잉여군 [math]\displaystyle{ (\mathbb Z/n \mathbb Z, +) }[/math]. 사실 모든 순환군은 이들 중 어느 하나와 동형(isomorphic)이다.

• [math]\displaystyle{ G }[/math]가 단순군(simple group)이라는 것은 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 정규부분군이 자기자신 [math]\displaystyle{ G }[/math]와 자명군 [math]\displaystyle{ \{ e \} }[/math]밖에 없는 것이다.

• [math]\displaystyle{ G }[/math]가 소수 [math]\displaystyle{ p }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ p }[/math]군([math]\displaystyle{ p }[/math]‐group)이라는 것은, [math]\displaystyle{ G }[/math]의 모든 원소의 위수가 [math]\displaystyle{ p }[/math]의 거듭제곱인 것이다.

• [math]\displaystyle{ G }[/math]가 가해군(solvable group)이라는 것은 적당한 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 부분군들 [math]\displaystyle{ \{e \}=H_0⊴H_1⊴…⊴H_n=G }[/math]가 있어서 [math]\displaystyle{ H_i/H_{i−1} }[/math] ([math]\displaystyle{ i=1, …, n }[/math])가 모두 아벨군인 것이다.

또, [math]\displaystyle{ G }[/math]의 크기 [math]\displaystyle{ |G| }[/math]는 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 위수(order)라고 하는데, [math]\displaystyle{ G }[/math]의 위수가 유한하면 [math]\displaystyle{ G }[/math]를 유한군(finite group), 무한하면 [math]\displaystyle{ G }[/math]를 무한군(infinite group)이라고 부른다.

군 동형사상(Group Isomorphism)과 군 준동형사상(Group Homomorphism)

두 개의 군 [math]\displaystyle{ G }[/math]와 [math]\displaystyle{ H }[/math]가 있고, [math]\displaystyle{ (G,*) }[/math]에서 [math]\displaystyle{ (H,*') }[/math]로 가는 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 있다고 하자. 이 함수가 모든 [math]\displaystyle{ x, y \in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f(x*y) = f(x)*'f(y) }[/math]를 만족할 때, 이 [math]\displaystyle{ f }[/math]를 군 준동형사상(group homomorphism)이라고 부른다.

좀 더 정확하게는 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 군의 이항연산 [math]\displaystyle{ · }[/math], 영항연산 [math]\displaystyle{ e }[/math], 단항연산 [math]\displaystyle{ {}^{−1} }[/math]을 모두 보존해야 하지만, 군에서는 이항연산 하나만 보존하면 나머지는 자동이므로 위처럼 정의해도 아무런 문제가 없다.

두 개의 군 [math]\displaystyle{ G }[/math]와 [math]\displaystyle{ H }[/math]에 대해 군 준동형사상 [math]\displaystyle{ f : G \to H }[/math]가 존재하면 [math]\displaystyle{ H }[/math]를 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 준동형상(homomorphic image)이라고 한다.

만약 군 준동형사상 [math]\displaystyle{ f : G \to H }[/math]가 일대일대응(one‐to‐one correspondence)이면 군 동형사상(group isomorphism)이라고 부른다. 이때 두 군 [math]\displaystyle{ G }[/math]와 [math]\displaystyle{ H }[/math]는 동형(isomorphic)이라고 하고, [math]\displaystyle{ G \approx H }[/math]로 적는다.

두 개의 군 [math]\displaystyle{ G }[/math]와 [math]\displaystyle{ H }[/math]가 동형이라는 것은 두 군이 이름만 다르고 구조적으로 완전히 똑같다는 뜻이다. 예를 들어 다음과 같다([math]\displaystyle{ G }[/math]와 [math]\displaystyle{ H }[/math]를 바꾸어도 된다).

• 군 [math]\displaystyle{ G }[/math]가 아벨군(순환군, 단순군, 가해군)이면, 군 [math]\displaystyle{ H }[/math]도 아벨군(순환군, 단순군, 가해군)이다.
• 군 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 위수가 6이면, 군 [math]\displaystyle{ H }[/math]의 위수도 6이다.
• 군 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 부분군이 4개이면, 군 [math]\displaystyle{ H }[/math]도 부분군이 4개이다.

동형인 군의 예는 다음과 같다.

• [math]\displaystyle{ ( \mathbb Z/n \mathbb Z, +) \approx \mu_n ( \mathbb C ) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mathbb Z^\times \approx \mathbb Z/2 \mathbb Z }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mathbb{T} \approx \mathbb{R}/\mathbb{Z} \approx U(1) \approx SO(2) }[/math]

부분군(Subgroup)

[math]\displaystyle{ G }[/math]의 부분집합 [math]\displaystyle{ H }[/math]가 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 부분군(subgroup)이라는 것은 [math]\displaystyle{ H }[/math]가 [math]\displaystyle{ G }[/math]로부터 물려받은 연산에 관하여 다시 군이 되는 것을 말하고, [math]\displaystyle{ H \leq G }[/math]로 표기한다.

이때, [math]\displaystyle{ H }[/math]에서의 항등원 [math]\displaystyle{ e_H }[/math]와 [math]\displaystyle{ G }[/math]에서의 항등원 [math]\displaystyle{ e_G }[/math]가 같은지 문제되고, 한 번은 확인해야 한다. 물론 [math]\displaystyle{ H }[/math]에서의 등식 [math]\displaystyle{ e_H e_H = e_H }[/math]와 [math]\displaystyle{ G }[/math]에서의 등식 [math]\displaystyle{ e_H = e_H e_G }[/math]를 붙여 놓고 양변에서 [math]\displaystyle{ e_H }[/math]를 소거하면 원하는 결과를 얻는다. 그리고 항등원이 같은 이상 역원이 같은지는 앞의 유일성 증명에 의해 문제되지 않는다.

부분군의 대표적인 예로는 다음과 같은 것이 있다.

• [math]\displaystyle{ (\mathbb Z, +) \leq (\mathbb Q, +) \leq (\mathbb R, +) \leq (\mathbb C, +) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mathbb Z^\times \leq \mathbb Q^\times \leq \mathbb R^\times \leq \mathbb C^\times }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mu_n ( \mathbb C ) \leq \mu_{m}(\mathbb{C}) \leq \mathbb{T} \leq \mathbb C^\times }[/math](만약 [math]\displaystyle{ m }[/math]이 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 배수일 때)
• [math]\displaystyle{ \operatorname {SL} (V) \leq \operatorname {GL} (V) }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname {SO} (n) \leq \operatorname {O}(n) }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname {SU} (n) \leq \operatorname {U}(n) }[/math]

또 다음과 같은 것들도 부분군이다.

• [math]\displaystyle{ \{ e \} \leq G }[/math], [math]\displaystyle{ G \leq G }[/math]
• 부분군의 부분군은 부분군이다. 즉, [math]\displaystyle{ K \leq H \leq G }[/math]이면 [math]\displaystyle{ K \leq G }[/math]이다(정의에 의해 자명하다).
• 부분군의 교집합도 다시 부분군이다. 즉, [math]\displaystyle{ H }[/math], [math]\displaystyle{ K \leq G }[/math]이면 [math]\displaystyle{ H∩K \leq G }[/math]이다(이것도 정의에 의해 자명하다).
• [math]\displaystyle{ f : G → H }[/math]가 군 준동형사상이면, [math]\displaystyle{ \operatorname {ker} f \leq G }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \operatorname {im} f \leq H }[/math]이다.

한편, 잉여군 [math]\displaystyle{ ( \mathbb Z/n \mathbb Z, +) }[/math]은 [math]\displaystyle{ ( \mathbb Z, +) }[/math]의 준동형상(homomorphic image)이지 부분군이 아니다.

[math]\displaystyle{ H }[/math]가 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 부분군인 것은 [math]\displaystyle{ H }[/math]가 다음 세 조건 (i) [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ y∈H }[/math]이면 [math]\displaystyle{ xy∈H }[/math], (ii) [math]\displaystyle{ e∈H }[/math] 및 (iii) [math]\displaystyle{ x∈H }[/math]이면 [math]\displaystyle{ x^{−1}∈H }[/math]를 만족하는 것과 동치이다. 즉, [math]\displaystyle{ H }[/math]가 군의 이항연산 [math]\displaystyle{ · }[/math], 영항연산 [math]\displaystyle{ e }[/math], 단항연산 [math]\displaystyle{ {}^{−1} }[/math]에 대해 닫혀 있는 것과 동치이다.

정규부분군(Normal subgroup)과 몫군(Quotient group)

[math]\displaystyle{ G }[/math]의 부분군 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 정규부분군(normal subgroup)이라는 것은 모든 [math]\displaystyle{ x∈G }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ xN=Nx }[/math]인 것을 말한다. 그러니까, 좌잉여류와 우잉여류가 항상 같은 것이다. 이때 [math]\displaystyle{ N⊴G }[/math]와 같이 표기한다.

한편, 아벨군의 경우에는 교환법칙이 성립하므로 모든 부분군은 정규부분군이 된다.

정규부분군의 예로는 다음과 같은 것이 있다.

• [math]\displaystyle{ \operatorname {SL}(V)⊴\operatorname {GL}(V) }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname {SO}(n)⊴\operatorname {O}(n) }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname {SU}(n)⊴\operatorname {U}(n) }[/math]
• [math]\displaystyle{ A_n ⊴ S_n }[/math]

또 다음과 같은 것들도 부분군이다.

• [math]\displaystyle{ \{e \}⊴G }[/math], [math]\displaystyle{ G⊴G }[/math]
• [math]\displaystyle{ f : G → H }[/math]가 군 준동형사상이면, [math]\displaystyle{ \operatorname {ker} f ⊴ G }[/math]이다.
• [math]\displaystyle{ N≤H≤G }[/math]이고 [math]\displaystyle{ N⊴G }[/math]이면 [math]\displaystyle{ N⊴H }[/math]이다.
• 지표(index)가 2인 부분군 은 정규부분군이다.

[math]\displaystyle{ N }[/math]이 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 정규부분군이라면 (좌)잉여류의 집합 [math]\displaystyle{ G/N = \{ xN : x∈G \} }[/math]에 아래와 같이 자명한 연산을 정의할 수 있고, 이 연산에 관해 [math]\displaystyle{ G/H }[/math]는 군이 되는데, 이를 몫군(quotient group)이라 한다. 자명한 방법이란, [math]\displaystyle{ xN, yN \in G/N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ (xN)(yN)=(xy)N }[/math]과 같이 정의하는 것이다. 이 연산이 잘 정의될 필요충분조건이 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 정규부분군인 것이기 때문에 이때만 몫군을 정의한다. 한편, 이와 같은 연산의 정의는 전형적 사영(canonical projection) [math]\displaystyle{ \pi : G \to G/N }[/math], [math]\displaystyle{ x \mapsto xN }[/math]이 군 준동형사상이 되는 유일한 방법이기도 하다.

존재 이유

어떤 object 안의 흐름을 group을 통해서 관찰한다.

군론의 기본 철학은 이것이며, 군이라고 이름붙이는 것들은 대부분 이런 철학을 가진다. 이게 무슨 소리냐면, 예를 들어 1, 2, 3, 4, 5 이 숫자 다섯개를 뒤섞는 방법, 즉 1, 2, 3, 4, 5를 2, 1, 3, 5, 4로 섞는 것 등등을 모두 모은 집합을 [math]\displaystyle{ S_5 }[/math]라고 하자. 이제 [math]\displaystyle{ S_5 }[/math] 위에 연산을, 하나는 1, 2, 3, 4, 5를 2, 1, 3, 4, 5로 섞는 방법을 [math]\displaystyle{ x }[/math]로 하고, 1, 2, 3, 4, 5를 3, 2, 4, 5, 1로 섞는 방법을 [math]\displaystyle{ y }[/math]라고 하자. [math]\displaystyle{ xy }[/math]는 1, 2, 3, 4, 5를 3, 2, 4, 5, 1에서 앞의 두 개를 바꾼 2, 3, 4, 5, 1로 섞는 방법이라는 식으로 정의하면, [math]\displaystyle{ S_5 }[/math]는 이 연산에 관해 군을 이룬다. 좀 더 정확히는 [math]\displaystyle{ S_5 }[/math]는 [math]\displaystyle{ S=\{1, 2, 3, 4, 5 \} }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ S }[/math]에서 [math]\displaystyle{ S }[/math]로 가는 모든 전단사함수의 집합이고 연산은 함수의 합성으로 정의한 것이다.

이제 [math]\displaystyle{ S_5 }[/math]의 원소 중 하나인 1, 2, 3, 4, 5를 2, 1, 3, 4, 5로 섞는 방법 [math]\displaystyle{ x }[/math]로 1, 1, 2, 2, 2를 섞는다고 해보자. 그렇다면 아무런 변화도 없을 것이다. 앞의 두 개를 바꾸는 것인데 앞의 두 개는 모두 1이니 말이다. 이를 일반화하여 [math]\displaystyle{ x }[/math]라는 방법으로 다섯 개의 숫자를 섞은 결과 변화가 없는 것과 처음 두 개의 숫자가 같다는 것은 동치임을 증명할 수 있다. 그렇다면 우리는 어떤 다섯 개의 숫자가 있을 때 직접 첫 두 개의 숫자를 확인하는 대신, 그 다섯 개의 숫자를 [math]\displaystyle{ x }[/math]라는 방법으로 섞어 봐서 변화가 없는지 아닌지로 첫 두 개의 숫자가 같은지 아닌지를 확인할 수 있다. 이처럼 숫자 다섯 개의 대칭성을 [math]\displaystyle{ S_5 }[/math]를 통해서 볼 수 있다.

이 방법은 얼핏 보면 이상하고 오히려 더 번거로운 방법으로 보이지만, 이것은 갈루아가 만든 갈루아 이론(Galois theory)의 기본 아이디어이다. 갈루아는 어떤 다항식의 근을 그 계수들의 합, 차, 곱, 몫 및 [math]\displaystyle{ n }[/math]제곱근을 유한 번 사용해서 나타낼 수 있는지(즉 근의 공식이 있는지)를 알아보기 위해 그 방정식의 해들을 섞는 방법을 다항식에 적용하는 것을 생각했고, 그 섞는 방법들을 모은 집합을 group이라고 이름지었다. Group으로 보면 group의 성질과 group이 그 숫자를 어떻게 바꾸냐에 따라서 따라서 그 숫자의 성질을 알아낼 수 있고, group의 성질은 쉽게 알아낼 수 있다.

Group의 성질을 알아내기 힘들 때도 있는데, 그때 사용할 수 있는 것은 군표현론(representation theory)이다. Group을 선형대수학에서 배운, 비교적 친숙한 행렬군(matrix group)으로 나타내어(이를 matrix representation이라 한다) 그 group의 성질을 알아낼 수 있다. 번사이드 정리(Burnside's theorem)가 대표적인데, 어떤 군의 원소의 개수의 소인수가 두 개뿐이라면(즉 [math]\displaystyle{ p^a q^b }[/math] 꼴이라면) 가해군이라는 간단한 정리지만, 표현론을 사용하지 않는다면 증명이 많이 어려워진다. 정수론(Number theory)에선 cyclic extension들의 갈루아군이나 local field에서 maximal unramified extension의 갈루아군은 비교적 다루기 쉽지만 absolute Galois group은 바로 다루기가 매우 어렵다. 그렇기 때문에 Galois representation이라는 것을 사용한다. 근데 그것도 안 되어서 다 보는 것은 너무 어렵다고 징징대면서 좀 더 정수론적인 것만 보겠다고 Weil group을 만들고, 그것도 모잘라서 representation의 정수론적 정보만 보겠다고 representation 위에다가 l-adic cohomology도 끼얹는데 안 되는 걸 보면 이건 그냥 안 된다. 정수론은 그냥 포기가 답인 듯...

그 외

• [math]\displaystyle{ G }[/math]가 유한군이고 [math]\displaystyle{ H }[/math]가 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 부분군이면, ([math]\displaystyle{ H }[/math]도 유한군이고) [math]\displaystyle{ H }[/math]의 위수(order)는 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 위수를 나눈다(라그랑주 정리, Lagrange’s theorem).
• [math]\displaystyle{ G }[/math]가 유한군일 때, 위의 라그랑주 정리의 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, [math]\displaystyle{ n \, \big| \, |G| }[/math]라고 해서 위수가 [math]\displaystyle{ n }[/math]인 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 부분군 [math]\displaystyle{ H }[/math]가 존재하는 것은 아니다.
  그러나 [math]\displaystyle{ p \, \big| \, |G| }[/math]인 소수 [math]\displaystyle{ p }[/math]에 대해서는 위수가 [math]\displaystyle{ p }[/math]인 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 부분군이 존재한다. 이를 코시 정리(Cauchy’s theorem)라고 한다. 사실 [math]\displaystyle{ p^n }[/math]이 [math]\displaystyle{ |G| }[/math]를 나누는 가장 큰 [math]\displaystyle{ p }[/math]의 거듭제곱일 때 위수가 [math]\displaystyle{ p^n }[/math]인 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 부분군이 존재한다는 것이 실로 제1정리(Sylow’s first theorem)이고, 코시 정리는 그 따름정리로 이해할 수 있다.
  • 그러나 [math]\displaystyle{ G }[/math]가 순환군이면 라그랑주 정리의 역이 일반적으로 성립한다.
• 아벨군은 [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math]‐가군과 같다.
• 모든 유한아벨군은 깔끔하게 분류되어 있다. 분해정리를 이용해 유한순환군의 직합으로 나타낼 수 있기 때문이다.
• 중국인의 나머지 정리(Chinese remainder theorem)는 정수 [math]\displaystyle{ m }[/math]과 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 서로 소(mutually prime)이면 [math]\displaystyle{ \mathbb Z/mn \mathbb Z ≈(\mathbb Z /m \mathbb Z )×( \mathbb Z/n \mathbb Z ) }[/math]라는 꼴로 깔끔하게 표현할 수 있다. 환론에서 더 일반화된 형태를 만날 수 있다.
• 모든 유한단순군도 모두 분류되어 있다. 하지만 증명이 엽기적…인데, 증명 논문이 15,000 쪽이나 된다.‘유한’을 ‘가산’으로 바꾸고 싶어진다. 참고로 가산아벨군도 모두 분류가 안 되어 있다. 세계에서 가장 긴 수학 논문. 그리고 수학자들이 말하기를 다음으로 할 것은 이 증명 길이를 5000쪽…으로 줄이는 것이라고. 참고로 유한단순군 중에 고등학교 수학 교과서에서 많이 나오는 이임학 교수님의 이름이 붙은 Ree group이 있다.
• [math]\displaystyle{ G }[/math]가 유한군이고 원소의 개수가 홀수 개면 가해군이다. Feit-Thompson theorem이라고 불린다. 유한단순군의 분류에 Feit-Thompson theorem이 필수적으로 쓰인다.