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Fraleigh 저, [http://www.scienceall.com/닐스-헨리크-아벨niels-henrik-abel/], 여기서 일반적인 해가 없다는 것은 대수적인 해법이 없다는 것이다. 대수적 해법이란 유한번의 거듭제곱근과 사칙연산만으로 얻을 수 있는 해를 말한다.</ref> 이 외에도 다른 흥미로운 결과들을 [[추가바람]] 이하에서는 이제 뜬구름 잡는 소리를 그만하고 군이 정말 무엇인지에 대해 논할 것이다. == 정의 == '''군(群, group)'''이란 다음 세 가지 공리를 만족하는 [[집합]] <math>G</math>와 이항연산 <math>· :G \times G → G</math>의 쌍 <math>(G, ·)</math>을 말한다. # 결합법칙을 만족한다. 그러니까 모든 <math>x, y, z \in G</math>에 대해서 <math>(x·y)·z=x·(y·z)</math>가 된다. # [[항등원]]이 존재한다. 그러니까 적당한 <math>e \in G</math>가 있어서 모든 <math>x \in G</math>에 대해서 <math>e·x=x·e=x</math>를 만족한다. 항등원은 존재하면 유일하므로<ref>증명: <math>e′</math>도 항등원이면 <math>e=e·e′=e′</math>.</ref>, 이 원소를 그냥 <math>e</math>로 적고, 혼동의 여지가 있을 때는 <math>e_G</math>로도 적는다. # [[역원]]이 존재한다. 그러니까 모든 <math>x \in G</math>에 대해서 적당한 <math>y \in G</math>가 있어서 <math>x·y=y·x=e</math>가 된다. 역원도 존재하면 유일하므로<ref>증명: <math>z</math>도 <math>x</math>의 역원이면 <math>y=y·e=y·(x·z)=(y·x)·z=e·z=z</math>.</ref>, 이 원소를 그냥 <math>x^{−1}</math>로 적는다. 군의 [[연산]]은 보통 곱셈처럼 생각하며, 따라서 보통의 관습에 따라 <math>x·y = xy</math>처럼 적기도 한다. 아예 연산이 붙여쓰기(juxtaposition)라고 하는 경우도 있다. 이 경우 항등원은 1로도 많이 쓴다. 한편, 후술하는 아벨군의 경우에는 연산을 덧셈처럼 생각하고 표기도 <math>x+y</math>와 같이 하는 경우가 훨씬 많고, 이 경우 항등원은 0으로 많이 쓴다. ==예== 군의 대표적인 예로는 다음과 같은 것이 있다. * 덧셈에 관해 군을 이루는 것 ** [[정수]] 전체의 집합 <math>(\mathbb Z,+)</math>, [[유리수]] 전체의 집합 <math>(\mathbb Q,+)</math>, [[실수]] 전체의 집합 <math>(\mathbb R, +)</math>, [[복소수]] 전체의 집합 <math>(\mathbb C,+)</math>. ** 잉여군 <math>(\mathbb Z/n \mathbb Z, +)</math>. * 곱셈에 관해 군을 이루는 것 ** 단원군(Unit group) <math>(\mathbb Z^\times, ·)</math>, <math>(\mathbb Q^\times, ·)</math>, <math>(\mathbb R^\times, ·)</math>, <math>(\mathbb C^\times, ·)</math>. ** 복소수의 1의 <math>n</math>제곱근의 군 <math>\mu_n(\mathbb C) =\{ z \in \mathbb C : z^n=1\}</math>. ** 복소수에서 단위원군(Circle group) <math>\mathbb{T} = \{ z \in \mathbb{C} : |z| = 1 \}</math> ** 행렬군(Matrix group) <math> \operatorname{GL}(V)</math>, <math>\operatorname{SL}(V)</math>, <math>\operatorname{O}(n)</math>, <math>\operatorname{SO}(n)</math>, <math>\operatorname{U}(n)</math>, <math>\operatorname{SU}(n)</math>, <math>\operatorname{Sp}(n)</math>. * 그 밖의 것 ** 대칭군(Symmetric group) <math>S_n</math> ** 교대군(Alternative group) <math>A_n</math> ** 정이면체군(Dihedral group) <math>D_{2n}</math> ** 갈루아군(Galois group) <math>Gal(K/F)</math>. ** 호모토피 군 (Homotopy Group) <math>\pi_n (X) </math> ** 호몰로지 군 (Homology Group) <math>\H_n (X) </math> 군이 아닌 것의 예로는 [[자연수]] 전체의 집합을 들 수 있다. 자연수 전체의 집합은 덧셈에 대해서도, 곱셈에 대해서도 군이 아니다. 덧셈에 대해서는 항등원<ref>자연수를 1부터 시작하는 경우. 0부터 시작하는 경우 항등원은 있다.</ref>과 역원이 없고, 곱셈에 대해서는 역원이 없다. 즉, <math>(\mathbb N,+)</math>은 1번 공리만 만족하여 반군(semigroup)이고, <math> (\mathbb N,·)</math>은 1,2번 공리만 만족해서 모노이드(monoid)이다. == 군의 종류 == <math>G</math>가 군일 때, * <math>G</math>가 '''아벨군(abelian group)'''<ref>수학자 [[닐스 헨리크 아벨|아벨]]의 이름에서 왔는데, 대문자로 적지 않는 쪽이 관습이다. 그만큼 아벨이 많이 사용된다는 이야기이고, 상당히 영광스러운 일이다. 우리말로는 '가환군'.</ref>이라는 것은 교환법칙이 성립하는 것이다. 그러니까 모든 <math>x, y \in G</math>에 대해서 <math>xy=yx</math>가 성립한다. ** 아벨군의 예: 위 군의 예 중 덧셈에 관해 군을 이루는 것 전부 및 아래 순환군. * <math>G</math>가 '''순환군(cyclic group)'''이라는 것은 적당한 <math>a∈G</math>가 있어서 <math> \left< a \right> =G</math>인 것이다. 이는 모든 <math> x∈G</math>에 대해 적당한 정수 <math>n</math>이 있어서 <math> x=a^n </math>꼴로 표현되는 것과 동치이다. 이때 <math>a</math>를 <math>G</math>의 생성자(generator)라고 한다. 순환군은 가장 간단한 형태의 군이고, 모든 순환군은 아벨군이다.<ref>증명: <math>x</math>, <math>y∈G</math>이면 적당한 정수 <math>n</math>과 <math>m</math>이 있어서 <math>x=a^n</math>, <math>y=a^m</math>이다. 이제 <math>xy=a^{n} a^{m}=a^{n+m}=a^{m+n}=a^{m} a^{n}=yx </math>.</ref> ** 순환군의 예: 자명군 <math> \{0 \} </math>, 정수군 <math>( \mathbb Z , + )</math> , 잉여군 <math>(\mathbb Z/n \mathbb Z, +)</math>. 사실 모든 순환군은 이들 중 어느 하나와 동형(isomorphic)이다. * <math>G</math>가 '''단순군(simple group)'''이라는 것은 <math>G</math>의 정규부분군이 자기자신 <math>G</math>와 자명군 <math>\{ e \}</math>밖에 없는 것이다. * <math>G</math>가 [[소수]] <math>p</math>에 대해 '''<math>p</math>군(<math>p</math>‐group)이라는 것은, <math>G</math>의 모든 원소의 위수가 <math>p</math>의 거듭제곱인 것이다. * <math>G</math>가 '''가해군(solvable group)'''이라는 것은 적당한 <math>G</math>의 부분군들 <math>\{e \}=H_0⊴H_1⊴…⊴H_n=G</math>가 있어서 <math>H_i/H_{i−1}</math> (<math>i=1, …, n</math>)가 모두 아벨군인 것이다. 또, <math>G</math>의 크기 <math>|G|</math>는 <math>G</math>의 '''위수(order)'''라고 하는데, <math>G</math>의 위수가 유한하면 <math>G</math>를 유한군(finite group), 무한하면 <math>G</math>를 무한군(infinite group)이라고 부른다. == 군 동형사상(Group Isomorphism)과 군 준동형사상(Group Homomorphism) == 두 개의 군 <math>G</math>와 <math>H</math>가 있고, <math>(G,*)</math>에서 <math>(H,*')</math>로 가는 함수 <math>f</math>가 있다고 하자. 이 함수가 모든 <math>x, y \in G</math>에 대해 <math>f(x*y) = f(x)*'f(y)</math>를 만족할 때, 이 <math>f</math>를 '''군 준동형사상(group homomorphism)'''이라고 부른다. 좀 더 정확하게는 <math>f</math>가 군의 이항연산 <math>·</math>, 영항연산 <math>e</math>, 단항연산 <math>{}^{−1}</math>을 모두 보존해야 하지만, 군에서는 이항연산 하나만 보존하면 나머지는 자동이므로 위처럼 정의해도 아무런 문제가 없다. 두 개의 군 <math>G</math>와 <math>H</math>에 대해 군 준동형사상 <math>f : G \to H</math>가 존재하면 <math>H</math>를 <math>G</math>의 '''준동형상(homomorphic image)'''이라고 한다. 만약 군 준동형사상 <math>f : G \to H</math>가 일대일대응(one‐to‐one correspondence)이면 '''군 동형사상(group isomorphism)'''이라고 부른다. 이때 두 군 <math>G</math>와 <math>H</math>는 '''동형(isomorphic)'''이라고 하고, <math>G \cong H</math>로 적는다. 두 개의 군 <math>G</math>와 <math>H</math>가 동형이라는 것은 두 군이 이름만 다르고 구조적으로 완전히 똑같다는 뜻이다. 예를 들어 다음과 같다(<math>G</math>와 <math>H</math>를 바꾸어도 된다). * 군 <math>G</math>가 아벨군(순환군, 단순군, 가해군)이면, 군 <math>H</math>도 아벨군(순환군, 단순군, 가해군)이다. * 군 <math>G</math>의 위수가 6이면, 군 <math>H</math>의 위수도 6이다. * 군 <math>G</math>의 부분군이 4개이면, 군 <math>H</math>도 부분군이 4개이다. 동형인 군의 예는 다음과 같다. * <math>( \mathbb Z/n \mathbb Z, +) \cong \mu_n ( \mathbb C )</math><ref>동형사상은 궁극적으로는 아무 생성자(generator)를 아무 생성자로 보내는 것이면 다 되는데, 제1동형정리를 쓰는 편이 훨씬 간명하다.</ref> * <math>\mathbb Z^\times \cong \mathbb Z/2 \mathbb Z</math> * <math>\mathbb{T} \cong \mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong U(1) \cong SO(2)</math> == 부분군(Subgroup) == <math>G</math>의 부분집합 <math>H</math>가 <math>G</math>의 '''부분군(subgroup)'''이라는 것은 <math>H</math>가 <math>G</math>로부터 물려받은 연산에 관하여 다시 군이 되는 것을 말하고, <math>H \leq G</math>로 표기한다. 이때, <math>H</math>에서의 항등원 <math>e_H</math>와 <math>G</math>에서의 항등원 <math>e_G</math>가 같은지 문제되고, 한 번은 확인해야 한다. 물론 <math>H</math>에서의 등식 <math>e_H e_H = e_H </math>와 <math>G</math>에서의 등식 <math>e_H = e_H e_G </math>를 붙여 놓고 양변에서 <math> e_H </math>를 소거하면 원하는 결과를 얻는다. 그리고 항등원이 같은 이상 역원이 같은지는 앞의 유일성 증명에 의해 문제되지 않는다. 부분군의 대표적인 예로는 다음과 같은 것이 있다. * <math> (\mathbb Z, +) \leq (\mathbb Q, +) \leq (\mathbb R, +) \leq (\mathbb C, +) </math> * <math> \mathbb Z^\times \leq \mathbb Q^\times \leq \mathbb R^\times \leq \mathbb C^\times </math> * <math> \mu_n ( \mathbb C ) \leq \mu_{m}(\mathbb{C}) \leq \mathbb{T} \leq \mathbb C^\times </math>(만약 <math>m</math>이 <math>n</math>의 배수일 때) * <math> \operatorname {SL} (V) \leq \operatorname {GL} (V) </math>, <math> \operatorname {SO} (n) \leq \operatorname {O}(n) </math>, <math>\operatorname {SU} (n) \leq \operatorname {U}(n) </math> 또 다음과 같은 것들도 부분군이다. * <math> \{ e \} \leq G</math>, <math> G \leq G </math> * 부분군의 부분군은 부분군이다. 즉, <math> K \leq H \leq G </math>이면 <math>K \leq G </math>이다(정의에 의해 자명하다). * 부분군의 교집합도 다시 부분군이다. 즉, <math>H</math>, <math>K \leq G</math>이면 <math>H∩K \leq G</math>이다(이것도 정의에 의해 자명하다). * <math>f : G → H</math>가 군 준동형사상이면, <math> \operatorname {ker} f \leq G</math>이고, <math>\operatorname {im} f \leq H </math>이다.<ref>증명은 아래 동치조건을 증명한 후에 하는 편이 쉽다.</ref> 한편, 잉여군 <math>( \mathbb Z/n \mathbb Z, +)</math>은 <math> ( \mathbb Z, +)</math>의 준동형상(homomorphic image)이지 부분군이 아니다. <math>H</math>가 <math>G</math>의 부분군인 것은 <math>H</math>가 다음 세 조건 (i) <math>x</math>, <math>y∈H</math>이면 <math>xy∈H</math>, (ii) <math>e∈H</math> 및 (iii) <math>x∈H</math>이면 <math>x^{−1}∈H</math>를 만족하는 것과 동치이다. 즉, <math>H</math>가 군의 이항연산 <math>·</math>, 영항연산 <math>e</math>, 단항연산 <math>{}^{−1}</math>에 대해 닫혀 있는 것과 동치이다. == 정규부분군(Normal subgroup)과 몫군(Quotient group) == <math>G</math>의 부분군 <math>N</math>이 정규부분군(normal subgroup)이라는 것은 모든 <math>x∈G</math>에 대해서 <math>xN=Nx</math>인 것을 말한다. 그러니까, 좌잉여류와 우잉여류가 항상 같은 것이다. 이때 <math>N⊴G</math>와 같이 표기한다. 한편, 아벨군의 경우에는 교환법칙이 성립하므로 모든 부분군은 정규부분군이 된다. 정규부분군의 예로는 다음과 같은 것이 있다. * <math>\operatorname {SL}(V)⊴\operatorname {GL}(V)</math>, <math>\operatorname {SO}(n)⊴\operatorname {O}(n)</math>, <math>\operatorname {SU}(n)⊴\operatorname {U}(n)</math> * <math>A_n ⊴ S_n</math> <ref><math>n</math>이 1보다 클 때에는 지표가 2이기 때문이다.</ref> 또 다음과 같은 것들도 부분군이다. * <math> \{e \}⊴G</math>, <math>G⊴G</math> * <math>f : G → H</math>가 군 준동형사상이면, <math>\operatorname {ker} f ⊴ G</math>이다. * <math>N≤H≤G</math>이고 <math>N⊴G</math>이면 <math>N⊴H</math>이다. * 지표(index)가 2인 부분군<ref>좀 더 일반적으론, 지표가 "어떤 유한군의 위수를 나누는 가장 작은 소수"일 때</ref> 은 정규부분군이다. <math>N</math>이 <math>G</math>의 정규부분군이라면 (좌)<ref>어차피 좌잉여류와 우잉여류가 같으므로 별 상관 없다.</ref>잉여류의 집합 <math>G/N = \{ xN : x∈G \}</math>에 아래와 같이 자명한 연산을 정의할 수 있고, 이 연산에 관해 <math>G/H</math>는 군이 되는데, 이를 몫군(quotient group)이라 한다. 자명한 방법이란, <math>xN, yN \in G/N</math>에 대해 <math>(xN)(yN)=(xy)N</math>과 같이 정의하는 것이다. 이 연산이 잘 정의될 필요충분조건이 <math>N</math>이 <math>G</math>의 정규부분군인 것이기 때문에 이때만 몫군을 정의한다. 한편, 이와 같은 연산의 정의는 전형적 사영(canonical projection) <math>\pi : G \to G/N</math>, <math>x \mapsto xN</math>이 군 준동형사상이 되는 유일한 방법이기도 하다. == 존재 이유 == '''어떤 object 안의 흐름을 group을 통해서 관찰한다.'''<ref>군의 작용(group action)이라고 부른다.</ref> 군론의 기본 철학은 이것이며, 군이라고 이름붙이는 것들은 대부분 이런 철학을 가진다. 이게 무슨 소리냐면, 예를 들어 1, 2, 3, 4, 5 이 숫자 다섯개를 뒤섞는 방법, 즉 1, 2, 3, 4, 5를 2, 1, 3, 5, 4로 섞는 것 등등을 모두 모은 집합을 <math>S_5</math>라고 하자. 이제 <math>S_5</math> 위에 연산을, 하나는 1, 2, 3, 4, 5를 2, 1, 3, 4, 5로 섞는 방법을 <math>x</math>로 하고, 1, 2, 3, 4, 5를 3, 2, 4, 5, 1로 섞는 방법을 <math>y</math>라고 하자. <math>xy</math>는 1, 2, 3, 4, 5를 3, 2, 4, 5, 1에서 앞의 두 개를 바꾼 2, 3, 4, 5, 1로 섞는 방법이라는 식으로 정의하면, <math>S_5</math>는 이 연산에 관해 군을 이룬다. 좀 더 정확히는 <math>S_5</math>는 <math>S=\{1, 2, 3, 4, 5 \}</math>일 때 <math>S</math>에서 <math>S</math>로 가는 모든 전단사함수의 집합이고 연산은 함수의 합성으로 정의한 것이다. 이제 <math>S_5</math>의 원소 중 하나인 1, 2, 3, 4, 5를 2, 1, 3, 4, 5로 섞는 방법 <math>x</math>로 1, 1, 2, 2, 2를 섞는다고 해보자. 그렇다면 아무런 변화도 없을 것이다. 앞의 두 개를 바꾸는 것인데 앞의 두 개는 모두 1이니 말이다. 이를 일반화하여 <math>x</math>라는 방법으로 다섯 개의 숫자를 섞은 결과 변화가 없는 것과 처음 두 개의 숫자가 같다는 것은 동치임을 증명할 수 있다. 그렇다면 우리는 어떤 다섯 개의 숫자가 있을 때 직접 첫 두 개의 숫자를 확인하는 대신, 그 다섯 개의 숫자를 <math>x</math>라는 방법으로 섞어 봐서 변화가 없는지 아닌지로 첫 두 개의 숫자가 같은지 아닌지를 확인할 수 있다. 이처럼 숫자 다섯 개의 대칭성을 <math>S_5</math>를 통해서 볼 수 있다. 이 방법은 얼핏 보면 이상하고 오히려 더 번거로운 방법으로 보이지만, 이것은 [[갈루아]]가 만든 갈루아 이론(Galois theory)의 기본 아이디어이다. 갈루아는 어떤 다항식의 근을 그 계수들의 합, 차, 곱, 몫 및 <math>n</math>제곱근을 유한 번 사용해서 나타낼 수 있는지(즉 근의 공식이 있는지)를 알아보기 위해 그 방정식의 해들을 섞는 방법을 다항식에 적용하는 것을 생각했고, 그 섞는 방법들을 모은 집합을 group이라고 이름지었다. Group으로 보면 group의 성질과 group이 그 숫자를 어떻게 바꾸냐에 따라서 따라서 그 숫자의 성질을 알아낼 수 있고, group의 성질은 쉽게 알아낼 수 있다. Group의 성질을 알아내기 힘들 때도 있는데, 그때 사용할 수 있는 것은 군표현론(representation theory)이다. Group을 [[선형대수학]]에서 배운, 비교적 친숙한 행렬군(matrix group)으로 나타내어(이를 matrix representation이라 한다) 그 group의 성질을 알아낼 수 있다. 번사이드 정리(Burnside's theorem)가 대표적인데, 어떤 군의 원소의 개수의 소인수가 두 개뿐이라면(즉 <math>p^a q^b</math> 꼴이라면) 가해군이라는 간단한 정리지만, 표현론을 사용하지 않는다면 증명이 많이 어려워진다. 정수론(Number theory)에선 cyclic extension<ref>cyclotomic extension 아닌지? 아시는 분이 [[수정바람]].</ref>들의 갈루아군이나 local field에서 maximal unramified extension의 갈루아군은 비교적 다루기 쉽지만 absolute Galois group은 바로 다루기가 매우 어렵다. 그렇기 때문에 Galois representation이라는 것을 사용한다. <del> 근데 그것도 안 되어서 다 보는 것은 너무 어렵다고 징징대면서 좀 더 정수론적인 것만 보겠다고 Weil group을 만들고, 그것도 모잘라서 representation의 정수론적 정보만 보겠다고 representation 위에다가 l-adic cohomology도 끼얹는데 안 되는 걸 보면 이건 그냥 안 된다. 정수론은 그냥 포기가 답인 듯... </del> == 그 외 == * <math>G</math>가 유한군이고 <math>H</math>가 <math>G</math>의 부분군이면, (<math>H</math>도 유한군이고) <math>H</math>의 위수(order)는 <math>G</math>의 위수를 나눈다(라그랑주 정리, Lagrange’s theorem). * <math>G</math>가 유한군일 때, 위의 라그랑주 정리의 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, <math>n \, \big| \, |G|</math>라고 해서 위수가 <math>n</math>인 <math>G</math>의 부분군 <math>H</math>가 존재하는 것은 아니다.<br />그러나 <math>p \, \big| \, |G|</math>인 '''소수''' <math>p</math>에 대해서는 위수가 <math>p</math>인 <math>G</math>의 부분군이 존재한다. 이를 코시 정리(Cauchy’s theorem)라고 한다. 사실 <math>p^n</math>이 <math>|G|</math>를 나누는 가장 큰 <math>p</math>의 거듭제곱일 때 위수가 <math>p^n</math>인 <math>G</math>의 부분군<ref>이러한 부분군을 실로 <math>p</math>부분군(Sylow <math>p</math>‐subgroup)이라 한다.</ref>이 존재한다는 것이 실로 제1정리(Sylow’s first theorem)이고, 코시 정리는 그 따름정리로 이해할 수 있다. ** 그러나 <math>G</math>가 순환군이면 라그랑주 정리의 역이 일반적으로 성립한다. * 아벨군은 <math>\mathbb Z</math>‐가군과 같다. * 모든 유한아벨군은 깔끔하게 분류되어 있다. 분해정리를 이용해 유한순환군의 직합으로 나타낼 수 있기 때문이다. * 중국인의 나머지 정리(Chinese remainder theorem)는 정수 <math>m</math>과 <math>n</math>이 서로 소(mutually prime)이면 <math> \mathbb Z/mn \mathbb Z ≈(\mathbb Z /m \mathbb Z )×( \mathbb Z/n \mathbb Z )</math>라는 꼴로 깔끔하게 표현할 수 있다. [[환|환론]]에서 더 일반화된 형태를 만날 수 있다. * 모든 유한단순군도 모두 분류되어 있다. 하지만 증명이 엽기적…인데, 증명 논문이 15,000 쪽이나 된다.<del>‘유한’을 ‘가산’으로 바꾸고 싶어진다. 참고로 가산아벨군도 모두 분류가 안 되어 있다.</del> 세계에서 가장 긴 수학 논문. 그리고 수학자들이 말하기를 다음으로 할 것은 이 증명 길이를 5000쪽…으로 줄이는 것이라고. 참고로 유한단순군 중에 고등학교 수학 교과서에서 많이 나오는 [[이임학|이임학]] 교수님의 이름이 붙은 Ree group이 있다. * <math>G</math>가 유한군이고 원소의 개수가 홀수 개면 가해군이다. Feit-Thompson theorem이라고 불린다. 유한단순군의 분류에 Feit-Thompson theorem이 필수적으로 쓰인다. * 그룹 코호몰로지 라는 개념이 있다. [[추가바람]] {{주석}} [[분류:대수학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:주석 (편집)
