과잉수(Abundant number) 또는 풍족수는 자기 자신을 제외한 약수의 합이 원래 수보다 큰 수를 말한다.
가장 작은 과잉수들은 다음과 같다.
아래 수열은 과잉수를 진약수로 가지지 않는 과잉수들이다. 즉 아래 목록에서 자연수 배를 하면 위 목록을 얻는다.
수식 표현[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ n=\prod p_k^{e_k} }[/math]과 같이 소인수분해 될 때, 정의는 아래와 같이 쓸 수 있다. [math]\displaystyle{ \sigma(n) }[/math]은 약수함수이다.
- [math]\displaystyle{ \sigma(n)\gt 2n }[/math]: 자기 자신을 포함한 약수의 합이 원래 수의 두 배보다 크다.
- [math]\displaystyle{ \frac{\sigma(n)}{n}=\sigma_{-1}(n)=\sum_{m \mid n}\frac{1}{m}=\prod \sum_{i=0}^{e_k}p_k^{-i}=\prod \frac{1-p_k^{-(e_k+1)}}{1-p_k^{-1}}\gt 2 }[/math]
과잉수의 예[편집 | 원본 편집]
- 가장 작은 과잉수는 12이다.
- 과잉수는 소인수가 최소 둘 이상이다.
- 증명: 위 수식 표현 중 [math]\displaystyle{ \sigma_{-1}(n)=\prod \frac{1-p_k^{-(e_k+1)}}{1-p_k^{-1}} }[/math]을 불러온다. 우변에서 각 항은 [math]\displaystyle{ p_k \geq 2, \frac{1-p^{-(e+1)}}{1-p}\lt \frac{1}{1-p} \leq 2 }[/math]이다. 그러므로 소인수가 하나뿐이면 우변에서 곤해지는 항도 하나이므로, [math]\displaystyle{ \sigma_{-1}(n)\lt 2 }[/math]로 과잉수가 될 수 없다. 아울러 12, 18, 20 등은 소인수가 둘인 과잉수이므로, 주어진 진술은 참이다.
- 어떤 수가 과잉수이거나 완전수이면 그 수의 배수도 과잉수이다.
- 증명: [math]\displaystyle{ n=\prod p_k^{e_k}, n'=\prod p_k^{d_k}, n \mid n' }[/math]이라 할 때, 각 소인수에 대해 [math]\displaystyle{ d_k \geq e_k, \frac{1-p^{-(d_k+1)}}{1-p^{-1}} \geq \frac{1-p^{-(e_k+1)}}{1-p^{-1}} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \sigma_{-1}(n') \geq \sigma_{-1}(n) \geq 2 }[/math]이다. 특히 [math]\displaystyle{ n'\gt n }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sigma_{-1}(n')\gt 2 }[/math]임을 알 수 있다.
- 홀수 과잉수는 소인수가 최소 셋 이상이다. 가장 작은 값은 [math]\displaystyle{ 945=3^3 \cdot 5 \cdot 7 }[/math]이다.
- 소인수가 둘 뿐인 홀수는 [math]\displaystyle{ n=p^d q^e, p \geq 3, q \geq 5 }[/math] 꼴이다. 둘째 항목과 같은 방법으로 [math]\displaystyle{ \sigma_{-1}(n)\lt \frac{15}{8}\lt 2 }[/math]를 이끌어내며, 이에 따라 소인수가 둘인 홀수는 과잉수가 될 수 없다.
- 6과 서로소인 과잉수는 소인수가 최소 7개 이상이다.
- 가장 작은 경우는 [math]\displaystyle{ 5391411025=5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 }[/math]이다.
- 소인수가 7가지인 최소 과잉수는 [math]\displaystyle{ 357878145625=5^4 \cdot 7^2 \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 }[/math]이다.
- 그 밖에 특정 소수 이하의 모든 수들과 서로소인 과잉수, 즉 [math]\displaystyle{ p\text{#} }[/math]와 서로소인 경우는 여기서 알아볼 수 있다.
원시 과잉수[편집 | 원본 편집]
원시 과잉수(Primitive abundant number)는 다른 과잉수나 완전수의 배수로 표현되지 않는 과잉수를 말한다. 즉 원시 과잉수의 진약수들은 전부 부족수이다. 앞서 서술한 과잉수의 성질 중 "완전수나 과잉수의 배수는 모두 과잉수"라는 진술에 따른 것으로, 배수를 이용해 다른 과잉수들을 생성하는 뿌리가 된다는 의미로 '원시'라는 접두어가 붙었다. 단, 완전수 자체는 원시 과잉수에 포함되지 않는다.
아래는 1000 이하의 완전수 및 원시 과잉수들을 나타낸 것이다. 완전수는 괄호 표시를 함. 즉 1000 이하의 모든 과잉수는 아래 수들의 배수로 생성할 수 있다.
- (6), 20, (28), 70, 88, 104, 272, 304, 368, 464, (496), 550, 572, 650, 748, 836, 945
- 더 많은 원시 과잉수들은 (OEIS의 수열 A071395) 참고.
같이 보기[편집 | 원본 편집]
각주
| 수의 종류 | |
|---|---|
| 수학 상수 | |
| 자연수 및 정수 | |
| 유리수 및 실수 | |
| 복소수 및 확장 | |