로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!'''곱완전수'''(Multiply perfect number)는 [[완전수]]의 확장된 개념으로, 자연수의 모든 약수의 합이 원래 수의 정수 배가 되는 수를 말한다. 원래 수의 몇 배인지에 따라 종류가 나뉘며, 배율이 ''k''이면 ''k''배 완전수(''k''-perfect number)라 한다. 가장 작은 곱완전수들은 아래와 같다. * 1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, … {{OEIS|A007691}} == 성질 == 1배 완전수, 즉 <math>k=1</math>인 자연수는 1 하나뿐이다. 또, 배율이 2 이상인 모든 곱완전수는 [[합성수]]이고, 소인수가 둘 이상이다. 곱완전수의 정의를 수식으로 표현하면 <math>\sigma(n)=kn, \frac{\sigma(n)}{n}=\sum_{m \mid n}\frac{1}{m}=k</math>이다. == 2배 완전수 == {{참고|완전수}} 원래 완전수와 같은 개념이다. 자기 자신을 제외한 약수의 합이 원래 수와 같으므로, 자기 자신을 포함하면 전체 합은 두 베가 된다. 현재까지 짝수 완전수가 무한한지 여부와 홀수 완전수의 존재 여부는 알려지지 않았다. 다만 짝수 완전수와 [[메르센 소수]]는 일대일 대응한다는 사실은 증명되었다. 메르센 소수는 현재까지 51개가 알려져 있으므로, 완전수도 지금까지 51개 알고 있다. <math>M_p=2^p-1</math>이 메르센 소수일 때, 이에 대응하는 짝수 완전수는 <math>\frac{M_p(M_p+1)}{2}=2^{p-1}(2^p-1)</math>이다. == 3배 완전수 == 어떤 자연수가 3배 완전수이려면 이 수는 소인수가 최소 3개 있어야 한다. * '''증명''': 자연수의 소인수가 둘 뿐이면 소인수분해 시 <math>n=p^d q^e</math>의 꼴로 나타낼 수 있다. 이때 두 소인수는 <math>p \geq 2, q \geq 3</math>이다. 그러면 약수의 합과 원래 수의 비는 <math>\sigma(n)=\sum_{m \mid n}\frac{1}{m}=(\sum_{i=0}^d p^{-i})(\sum_{j=0}^e q^{-j}) =\frac{1-p^{-(d+1)}}{1-p^{-1}} \cdot \frac{1-q^{-(e+1)}}{1-q^{-1}} < \frac{1}{1-p^{-1}} \cdot \frac{1}{1-q^{-1}}</math>이다. 이때 가정에 의해 <math>1-p^{-1} \geq \frac{1}{2}, 1-q^{-1} \geq \frac{2}{3}</math>이다. 따라서 <math>\frac{\sigma(n)}{n}< 2 \cdot \frac{3}{2}=3</math>이 되어, 자연수의 소인수가 둘이면 이 수는 3배 완전수가 될 수 없다. 지금까지 확인된 3배 완전수는 단 6개 뿐이다. 또, 전체 자연수 중 이들 외에는 더 존재하지 않을 것으로 추정하고 있다. {{OEIS|A005820}} {|class="wikitable" ! 순번 !! 3배 완전수 !! 소인수분해 |- | 1 || 120 || <math>2^3 \cdot 3 \cdot 5</math> |- | 2 || 672 || <math>2^5 \cdot 3 \cdot 7</math> |- | 3 || 523776 || <math>2^9 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 31</math> |- | 4 || 459818240 || <math>2^8 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19 \cdot 37 \cdot 73</math> |- | 5 || 1476304896 || <math>2^{13} \cdot 3 \cdot 11 \cdot 43 \cdot 127</math> |- | 6 || 51001180160 || <math>2^{14} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 151</math> |- |} 만약 홀수 완전수가 존재한다면, 이 수의 두 배는 3배 완전수이다. 즉 <math>2 \nmid n, \sigma(n)=2n</math>이라면, <math>\sigma(2n)=\sigma(2)\sigma(n)=3 \cdot 2n</math>이다. == 4배 완전수 == 어떤 자연수가 4배 완전수이려면 소인수는 4개 이상이어야 한다. * '''증명''': 바로 위의 문단과 같은 방법으로 이끌어낼 수 있다. 자연수의 소인수가 3개이면 <math>n=p^d q^e r^f, p \geq 2, q \geq 3, r \geq 5</math>와 같이 소인수분해를 할 수 있고, 마찬가지로 약수의 합과 원래 수의 비는 <math>\frac{\sigma(n)}{n}=\frac{1-p^{-(d+1)}}{1-p^{-1}} \cdot \frac{1-q^{-(e+1)}}{1-q^{-1}} \cdot \frac{1-r^{-(f+1)}}{1-r^{-1}} < \frac{1}{1-p^{-1}} \cdot \frac{1}{1-q^{-1}} \cdot \frac{1}{1-r^{-1}}</math>이다. 또, <math>1-p^{-1} \geq \frac{1}{2}, 1-q^{-1} \geq \frac{2}{3}, 1-r^{-1} \geq \frac{4}{5}</math>이므로, <math>\frac{\sigma(n)}{n} < 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} =\frac{15}{4} < 4</math>이다. 즉 소인수가 3개이면 이 자연수는 4배 완전수가 될 수 없다. 4배 완전수는 지금까지 36개가 발견되었고, 역시 이들 외에는 존재하지 않을 것으로 추정하고 있다.<ref name="data">[http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/mpn.html The Multiply Perfect Numbers Page], Data 문단에 첨부된 텍스트 파일 참고</ref> {{OEIS|A027687}} 아래 표는 그 중 작은 20개를 적은 것이다. {|class="wikitable" ! 순번 !! 4배 완전수 !! 소인수분해 |- | 1 || 30240 || <math>2^5 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7</math> |- | 2 || 32760 || <math>2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13</math> |- | 3 || 2178540 || <math>2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^2 \cdot 13 \cdot 19</math> |- | 4 || 23569920 || <math>2^9 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 31</math> |- | 5 || 45532800 || <math>2^7 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 17 \cdot 31</math> |- | 6 || 142990848 || <math>2^9 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 31</math> |- | 7 || 1379454720 || <math>2^8 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19 \cdot 37 \cdot 73</math> |- | 8 || 43861478400 || <math>2^{10} \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 23 \cdot 31 \cdot 89</math> |- | 9 || 66433720320 || <math>2^{13} \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 43 \cdot 127</math> |- | 10 || 153003540480 || <math>2^{14} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 151</math> |- | 11 || 403031236608 || <math>2^{13} \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 43 \cdot 127</math> |- | 12 || 704575228896 || <math>2^5 \cdot 3^4 \cdot 7^2 \cdot 11^2 \cdot 19^2 \cdot 127</math> |- | 13 || 181742883469056 || <math>2^8 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 13 \cdot 19^2 \cdot 37 \cdot 73 \cdot 127</math> |- | 14 || 6088728021160320 || <math>2^7 \cdot 3^{10} \cdot 5 \cdot 17 \cdot 23 \cdot 107 \cdot 3851</math> |- | 15 || 14942123276641920 || <math>2^7 \cdot 3^6 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 23 \cdot 137 \cdot 547 \cdot 1093</math> |- | 16 || 20158185857531904 || <math>2^{14} \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 13 \cdot 19^2 \cdot 31 \cdot 127 \cdot 151</math> |- | 17 || 275502900594021408 || <math>2^5 \cdot 3^4 \cdot 7^2 \cdot 11^2 \cdot 19^4 \cdot 151 \cdot 911</math> |- | 18 || 622286506811515392 || <math>2^9 \cdot 3^4 \cdot 7 \cdot 11^3 \cdot 31^2 \cdot 61 \cdot 83 \cdot 331</math> |- | 19 || 71065075104190073088 || <math>2^8 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 13 \cdot 19^4 \cdot 37 \cdot 73 \cdot 151 \cdot 911</math> |- | 20 || 203820700083634254643200 || <math>2^{25} \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 683 \cdot 2731 \cdot 8191</math> |- |} == 그 밖의 곱완전수 == 2021년 12월 31일까지 총 5772개가 발견되었다.<ref name="data"/> {|class="wikitable" ! <math>k</math> !! 발견된 개수 !! 가장 작은 수 !! 개수 추정<ref>추정 단계일 뿐 확실하게 증명되지는 않았다.</ref> !! [[OEIS]] |- | 1 || 1 || 1 || 하나 뿐(확실) || |- | 2 || 51 || 6 || [[메르센 소수]]만큼 || [https://oeis.org/A000396 A000396] |- | 3 || 6 || 120 || 추가 발견 없음 || [https://oeis.org/A005820 A005820] |- | 4 || 36 || 30240 || 추가 발견 없음 || [https://oeis.org/A027687 A027687] |- | 5 || 65 || 14182439040 || 추가 발견 없음 || [https://oeis.org/A046060 A046060] |- | 6 || 245 || 154345556085770649600 || 추가 발견 없음 || [https://oeis.org/A046061 A046061] |- | 7 || 516 || <math>1.413108979474 \times 10^{56}</math> || 거의 다 발견됨 || |- | 8 || 1135 || <math>8.268099687077 \times 10^{132}</math> || 거의 다 발견됨 || |- | 9 || 2130 || <math>5.613080818373 \times 10^{286}</math><ref name="subject">추후에 바뀔 수 있음</ref> || 더 많을 것으로 추정 || |- | 10 || 1586 || <math>4.485654298983 \times 10^{638}</math><ref name="subject"/> || 더 많을 것으로 추정 || |- | 11 || 1 || <math>2.518504134839 \times 10^{1906}</math><ref name="subject"/> || 더 많을 것으로 추정 || |- |} {{각주}} {{수}} [[분류:수]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:OEIS (편집) 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:수 (편집) 틀:참고 (원본 보기) (준보호됨)틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)