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#<math>(-1)(-a)=a</math> #:<math>0=0\times\left(-a\right)=\left(-1+1\right)\left(-a\right)=\left(-1\right)\left(-a\right)+\left(-a\right)</math>. 양변에 <math>a</math>를 더해주면, <math>a=\left(-1\right)\left(-a\right)</math>. #<math>(-1)a=-a</math> #:<math>\left(-1\right)\left(-a\right)=a</math>의 양변에 -1을 곱하면, <math>\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-a\right)=\left(-1\right)a</math>. 그런데 <math>\left(-1\right)\left(-1\right)=1</math>이므로, <math>\left(-1\right)a=-a</math>. 이제, <math>\left(-n\right)a=-\left(na\right)</math>로 정의하면, 모든 [[정수]]에 대해 곱셈이 정의된다. 위는 [[추상대수학]]적인 방법으로 정수의 곱셈을 정의한 것이고, [[해석학]]적인 방법으로 정수의 곱셈을 정의할 수도 있다. 기본적인 아이디어는 [[정수]]를 두 자연수의 차로 나타내는 것. 두 정수 <math>x,\,y</math>에 대해, 적당한 자연수 <math>m,\,n,\,a,\,b</math>가 존재하여 <math>x=m-n,\,y=a-b</math>로 나타낼 수 있다. 이 때, <math>xy := ma+nb-mb-na</math>로 정의하면, 정수에 대해 곱셈이 정의된다. === 유리수의 곱셈 === [[유리수]]의 곱셈은 [[정수]]의 곱셈을 조금 더 확장하여 얻는다. 먼저, 임의의 유리수를 두 정수의 쌍으로 나타낸다.<ref><math>\mathbb{Q}\cong\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^\times</math>이므로 가능하다.</ref> 그러니까, <math>\frac{a}{b}=\left(a,b\right)</math> 이런 식으로. 이 때, <math>\frac{a}{b}\times\frac{m}{n}=\left(a,b\right)\times\left(m,n\right):=\left(am,bn\right)=\frac{am}{bn}</math>로 정의한다. 뭔가 거창해 보이지만 분모는 분모끼리, 분자는 분자끼리 정수의 곱셈을 하라는 소리이다. === 실수의 곱셈 === [[실수]]의 곱셈의 정의는 [[데데킨트 절단]]이 들어가서 비전공자에겐 상당히 난해하게 보인다. 먼저 [[실수]]의 정의에 대해 간략하게 알고 가자. 먼저, 유리수의 진부분 집합 <math>U</math>가 있다고 하자. 만약 <math>U</math>가, #<math>x\in U</math>이고 <math>y> x</math>이면 <math>y\in U</math> #<math>U</math>는 가장 작은 원소를 갖지 않는다 위 두 성질을 만족하면 <math>U</math>를 <math>\mathbb{Q}</math>의 '''ray'''라 정의한다. 이 때, <math>U</math>의 여집합 <math>U'=\mathbb{Q}\setminus U</math>는 가장 큰 원소를 가질 수도, 가지지 않을 수도 있다. 만약 <math>U'</math>가 가장 큰 원소를 갖는다면 <math>U</math>를 type 1, 아니면 type 2라 부르기로 하자. <math>U</math>가 type 1이면, 적당한 유리수 <math>r</math>에 대해 <math>U=\left\{x\in\mathbb{Q}\mid x> r\right\}</math>임을 쉽게 알 수 있다. 이 때, <math>U</math>를 '''rational ray'''라 정의한다. 순서가 정의된 임의의 [[체 (수학)|체]] <math>F</math>에 대해, 모든 ray가 type 1이면 이 체 <math>F</math>를 '''complete'''하다고 부른다. 그런데 유리수의 집합 <math>\mathbb{Q}</math>는 complete하지 않다.<ref>증명은 대부분의 해석학 교제에 있으니 그 쪽을 참고.</ref> 즉, <math>\mathbb{Q}</math>는 type 2 ray를 갖게 되며, 이 ray를 '''irrational ray'''라 정의한다. 이제, [[실수]]를 <math>\mathbb{Q}</math>의 ray라 정의한다. {{ㅊ|'''뭔 개소리야'''}} 실수를 정의했으니 이제 실수의 곱셈을 정의할 수 있다. <math>U,\,V</math>를 두 실수(ray)라 할 때, 실수의 곱셈은 아래 네 가지 경우로 나눠 정의한다. #<math>0\not\in U,\,0\not\in V</math> #:<math>U\cdot V:=\left\{uv\mid u\in U\wedge v\in V\right\}</math> #<math>0\in U,\,0\not\in V</math> #:<math>U\cdot V:=\left\{r\in\mathbb{Q}\mid\exists u\in U\,\exists0\leq y\in V',\,r> uy\right\}</math> #<math>0\not\in U,\,0\in V</math> #:<math>U\cdot V:=\left\{r\in\mathbb{Q}\mid\exists0\leq x\in U'\,\exists v\in V,\,r> xv\right\}</math> #<math>0\in U,\,0\in V</math> #:<math>U\cdot V:=\left\{r\in\mathbb{Q}\mid\exists x\in U'\,\exists v\in V',\,r> xy\right\}</math> === 복소수의 곱셈 === [[복소수]]의 곱셈은 [[실수]]의 곱셈을 확장하여 얻는다. <math>i=\sqrt{-1}</math>라 할 때, 임의의 복소수는 적당한 두 실수 <math>a,\,b</math>에 대해 <math>a+bi</math> 꼴로 나타낼 수 있다. 두 복소수를 <math>z_1=a+bi,\,z_2=c+di</math>라 할 때, <math>z_1\cdot z_2:=\left(ac-bd\right)+\left(ad+bc\right)i</math>로 정의한다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · 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