로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! Multiplicative function == 정의 == 곱셈적 함수를 정의하기 전에 먼저 수론적 함수(arithmetic function)를 정의해야 한다. '''수론적 함수'''란, 모든 양의 [[정수]]에 대해 정의되어 있는 함수를 말한다. 다르게 표현하면 <math>\mathbb{Z}^+\subseteq D</math>인 함수. 수론적 함수 <math>f</math>가 [[서로소]]인 두 양의 정수 <math>m,\,n</math>에 대해 항상 <math>f\left(mn\right)=f\left(m\right)f\left(n\right)</math>이 성립한다면 그 함수는 '''곱셈적 함수'''가 된다. 만약 <math>m,\,n</math>이 서로소이지 않아도 <math>f\left(mn\right)=f\left(m\right)f\left(n\right)</math>가 성립한다면 그 함수는 '''완전 곱셈적'''(completely multiplicative)라 한다. Summatory function이란 것도 있는데 함수 <math>f</math>가 수론적 함수일 때, <math>F\left(n\right)=\sum_{d\mid n}f\left(d\right)</math>를 <math>f</math>의 '''summatory function'''이라 부른다. == 예시 == *항등함수: 정의역 조건만 만족한다면 완전 곱셈적 함수가 된다. *<math>f\left(x\right)=0,\,f\left(x\right)=1</math>: 정의역 조건만 만족하면 완전 곱셈적 함수. *[[오일러 피 함수]]: 그냥 곱셈적 함수. 증명은 항목 참조. *[[약수함수]]: 그냥 곱셈적 함수. 증명은 항목 참조. == 성질 == *<math>f</math>가 곱셈적 함수이고 <math>n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}</math>이 양의 [[정수]] <math>n</math>의 [[소인수분해]]라면, <math>f\left(n\right)=f\left(p_1^{a_1}\right)f\left(p_2^{a_2}\right)\cdots f\left(p_k^{a_k}\right)</math>이 성립한다. **[[수학적 귀납법]]을 이용해 증명한다. 만약 <math>n=p_1^{a_1}</math>이라면 당연히 성립한다. 위 명제가 1이상의 정수 <math>k</math>에 대해 성립한다 가정하자. 만약 <math>n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}p_{k+1}^{a_{k+1}}</math>라면, <math>\gcd\left(p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k},p_{k+1}^{a_{k+1}}\right)=1</math>이므로 <math>f\left(n\right)=f\left(p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}p_{k+1}^{a_{k+1}}\right)=f\left(p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}\right)f\left(p_{k+1}^{a_{k+1}}\right)=f\left(p_1^{a_1}\right)f\left(p_2^{a_2}\right)\cdots f\left(p_k^{a_k}\right)f\left(p_{k+1}^{a_{k+1}}\right)</math>이 되어 k+1일 때도 성립한다. *<math>f</math>가 곱셈적 함수이면, <math>f</math>의 summatory function <math>F</math>도 곱셈적 함수이다. **양의 정수 <math>m,\,n</math>가 [[서로소]]라 가정하자. 그럼, <math>F\left(mn\right)=\sum_{d\mid mn}f\left(d\right)</math>이다. 만약 <math>d_1\mid m,\,d_2\mid n</math>이면 <math>d_1d_2\mid mn</math>이고, 역으로 <math>d\mid mn</math>이면 <math>d_1\mid m,\,d_2\mid n,\,d_1d_2=d</math>인 <math>d_1,\,d_2</math>가 유일하게 존재한다. 즉, <math>\left\{d\in\mathbb{Z}^+\mid d\mid mn\right\}=\left\{d_1d_2\in\mathbb{Z}^+\mid d_1\mid m,\,d_2\mid n\right\}</math>. 따라서, <math>F\left(mn\right)=\sum_{d\mid mn}f\left(d\right)=\sum_{d_1\mid m,\,d_2\mid n}f\left(d_1d_2\right)=\sum_{d_1\mid m,\,d_2\mid n}f\left(d_1\right)f\left(d_2\right)</math>이다 (<math>\gcd\left(m,n\right)=1</math>이기 때문에 <math>\gcd\left(d_1,\,d_2\right)=1</math>). 곧, 준식 <math>=\left(\sum_{d_1\mid m}f\left(d_1\right)\right)\left(\sum_{d_2\mid n}f\left(d_2\right)\right)=F\left(m\right)F\left(n\right)</math>. {{주석}} [[분류:정수론]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:주석 (편집)