고합성수 편집하기

'''고합성수'''(Highly composite number)는 어떤 자연수가 존재해서 자기 자신보다 작은 어떤 수보다 약수가 많은 수를 일컫는다. 1과 자기자신만을 약수로 갖는 [[소수 (정수)|소수]]의 안티체제라 할 수 있다.

12를 예로 들면 약수는 6개이고, 그 밑으로는 모두 약수가 6개보다 적으므로 12는 고합성수이다. 18도 약수가 6개이지만 12가 더 작기에 18은 고합성수가 아니다.

== 특징 ==
<math>p_k</math>를 <math>k</math>번째 소수라 하고, 어떤 자연수가 <math>N=p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \cdots p_n^{e_n}</math>과 같이 [[소인수분해]]가 된다고 하면, 약수의 개수는 <math>d(N)=(e_1+1)(e_2+1) \cdots (e_n+1)</math>이다. 즉 각 소인수의 지수에서 1을 더한 값들의 곱이 되므로, <math>(e_1, e_2, \cdots e_n)</math>의 항들을 순서만 섞어서 자연수를 새로 지정하더라도 약수의 개수는 변하지 않는다.

* '''진술''': <math>N</math>이 고합성수이기 위한 필요조건은 <math>e_1 \geq e_2 \geq \cdots \geq e_n</math>인 것이다. 즉 소인수가 커질수록 지수는 이전 항과 같거나 작아져야 한다.
* '''증명''': <math>N</math>의 소인수 중 <math>e_r<e_s, p_r<p_s</math>인 두 인덱스 <math>r, s</math>가 존재한다고 하자. 주어진 자연수를 <math>N=Mp_r^{e_r}p_s^{e_s}</math>과 같이 쓰고, 지수를 맞바꾼 <math>N'=Mp_r^{e_s}p_s^{e_r}</math>을 불러온다. 그러면 <math>\frac{N'}{N}=\left(\frac{p_r}{p_s}\right)^{e_s-e_r}<1</math>이므로 <math>N'<N</math>이다. 그런데 <math>d(N)=d(N')</math>이므로, <math>N</math>은 고합성수가 될 수 없다.
* '''따름정리''': 고합성수는 [[소수 계승]]의 곱으로 표현할 수 있다. (예: <math>120=(2\text{#})^2 \cdot 5\text{#} = 2^2 \cdot 30</math>)

참고로 고합성수의 정의에서는 자연수가 반드시 [[합성수]]여야 한다는 조건은 들어가 있지 않다. 그렇기에 1, 2도 고합성수에 포함된다. 물론 그 이상은 모두 합성수이다.

== 목록 ==
아래 표는 가장 작은 고합성수 25개를 나열한 것이다. {{OEIS|A002182}}

{|class="wikitable"
! 순번 !! 고합성수 !! 소인수분해 !! 약수의 개수 
|-
| 1 || 1 || || 1
|-
| 2 || 2 || || 2
|-
| 3 || 4 || <math>2^2</math> || 3
|-
| 4 || 6 || <math>2 \cdot 3</math> || 4
|-
| 5 || 12 || <math>2^2 \cdot 3</math> || 6
|-
| 6 || 24 || <math>2^3 \cdot 3</math> || 8
|-
| 7 || 36 || <math>2^2 \cdot 3^2</math> || 9
|-
| 8 || 48 || <math>2^4 \cdot 3</math> || 10
|-
| 9 || 60 || <math>2^2 \cdot 3 \cdot 5</math> || 12
|-
| 10 || 120 || <math>2^3 \cdot 3 \cdot 5</math> || 16
|-
| 11 || 180 || <math>2^2 \cdot 3^2 \cdot 5</math> || 18
|-
| 12 || 240 || <math>2^4 \cdot 3 \cdot 5</math> || 20
|-
| 13 || 360 || <math>2^3 \cdot 3^2 \cdot 5</math> || 24
|-
| 14 || 720 || <math>2^4 \cdot 3^2 \cdot 5</math> || 30
|-
| 15 || 840 || <math>2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7</math> || 32
|-
| 16 || 1260 || <math>2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7</math> || 36
|-
| 17 || 1680 || <math>2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7</math> || 40
|-
| 18 || 2520 || <math>2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7</math> || 48
|-
| 19 || 5040 || <math>2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7</math> || 60
|-
| 20 || 7560 || <math>2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7</math> || 64
|-
| 21 || 10080 || <math>2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7</math> || 72
|-
| 22 || 15120 || <math>2^4 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7</math> || 80
|-
| 23 || 20160 || <math>2^6 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7</math> || 84
|-
| 24 || 25200 || <math>2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7</math> || 90
|-
| 25 || 27720 || <math>2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11</math> || 96
|-
|}

{{각주}}
{{수}}
[[분류:수]]