로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!== 고유값의 존재성 == 선형연산자 <math>T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2</math>가 다음과 같이 정의되었다고 하자. : <math>T(x,y)=(x-y,x+y)</math> 이때 <math>T</math>의 고윳값이 존재한다고 가정하고 <math>\lambda</math>로 쓰자. 그러면 : <math>(x-y,x+y)=(\lambda x,\lambda y)</math> 이고 따라서 <math>(1-\lambda)x=y,(1-\lambda)y=-x</math>이다. <math>\lambda=1</math>이면 <math>x=y=0</math>이 되므로 불가능하다. 따라서 <math>\lambda\ne 1</math>이다. 그러면 : <math>x= -(1-\lambda)y=-(1-\lambda)^2 x</math> 이므로 : <math>(1+(1-\lambda)^2)x=0</math> 이다. 따라서 <math>T</math>의 고유값은 존재하지 않는다. 그러나 <math>\mathbb{R}</math>을 <math>\mathbb{C}</math>로 바꾸면 <math>T</math>의 고유값은 <math>\lambda_1=1+i</math>, <math>\lambda_2=1-i</math>임을 알 수 있다. 일반적으로 선형연산자 <math>T:\mathbb{C}^n\to \mathbb{C}^n</math>의 고유값은 존재한다.<ref>{{서적 인용|제목=Linear Algebra Done Right|저자=Sheldon Axler|url=http://www.linear.axler.net/Eigenvalues.pdf|출판사=Springer|확인날짜=2016-05-14|판=3rd edition|isbn=0387982582|장=Chapter 5. Eigenvalues, Eigenvectors, and Invariant Subspaces}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=A First Course in Linear Algebra|저자=Robert A. Beezer|url=http://linear.ups.edu/download/fcla-3.50-tablet.pdf|확인날짜=2016-05-14|판=Version 3.50|장=Chapter E. Eigenvalues}}</ref> <math>\mathbf{x}</math>를 영이 아닌 임의의 벡터라고 하자. [[집합]] <math>S</math>를 : <math>S=\{\mathbf{x},T\mathbf{x},T^2\mathbf{x},\cdots,T^n\mathbf{x}\}</math> 로 정의하면 <math>S</math>의 원소의 수는 <math>n+1</math>개이므로 <math>S</math>는 [[일차종속]]이다. 따라서 : <math>a_0 \mathbf{x}+a_1 T\mathbf{x}+ a_2 T^2\mathbf{x}+\cdots + a_n T^n \mathbf{x}=\mathbf{0}</math> 를 만족하는 <math>a_0,a_1,\cdots, a_n \in \mathbb{C}</math>가 존재한다. 이때 <math>a_1,a_2,\cdots,a_n</math> 중 하나는 반드시 영이 아닌데, <math>a_1,a_2,\cdots,a_n</math>이 모두 영이라면 <math>a_0 \mathbf{x}=0</math>이 되어 모순이기 때문이다. <math>a_i\ne 0</math>을 만족하는 <math>i\in \{0,1,\cdots, n\}</math> 중 가장 큰 값을 <math>m</math>이라 하자. [[다항식]] <math>p(x)</math>를 : <math>p(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 +\cdots + a_m x^m</math> 으로 정의하면, [[대수학의 기본 정리]]에 의해 <math>p(x)=c(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots (x-\lambda_m)</math>인 <math>c,\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m\in \mathbb{C}</math>가 존재한다. 따라서 : <math>\begin{align} \mathbf{0}&=a_0 \mathbf{x}+a_1 T\mathbf{x}+ a_2 T^2\mathbf{x}+\cdots + a_n T^n \mathbf{x}\\ &=(a_0 + a_1 T +a_2 T^2 +\cdots + a_n T^n )\mathbf{x}\\ &=c(T-\lambda_1 I)(T-\lambda_2 I)\cdots (T-\lambda_m I)\mathbf{x} \end{align}</math> 이고, 따라서 <math>T-\lambda_i I</math> 중 하나는 [[일대일 함수]]가 아니다. 따라서 <math>T</math>는 고유값을 가진다. 더욱이, [[대수적으로 닫힌 체]] <math>F</math> 위에서 정의된 임의의 [[자기준동형사상]] <math>T:F^n \to F^n</math>의 고유값은 존재한다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț