결합법칙

결합법칙(associative law)은 둘 이상의 이항연산이 중첩되어 있을 때 연산의 순서에 따라 값이 변하지 않는 성질을 말한다. 즉 이항연산 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ (a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c) }[/math]이면 교환법칙을 만족하고, [math]\displaystyle{ a\circ b\circ c }[/math]로 표기한다. 이는 잘 정의되어 있음, 즉 혼동이 없음을 알 수 있다. 결합법칙을 만족하는 연산에 대하여 지수 연산(exponential)을 정의할 수 있다.

예시

• 보통 곱셈으로 표시하는 것들은 결합법칙을 만족한다.
• 복소수, 사원수 집합에서 정의된 덧셈과 곱셈은 결합법칙을 만족한다.
• 함수의 합성 연산은 결합법칙을 만족한다.
• 행렬의 곱은 결합법칙을 만족한다.
• 최대공약수와 최소공배수 연산은 결합법칙을 만족한다.
• 몇몇 논리 연산자들은 결합법칙을 만족한다. 그의 진리집합을 생각한다면 몇몇 집합 사이 연산은 결합법칙을 만족한다.

좌-결합성과 우-결합성

[math]\displaystyle{ a* b*c }[/math]로 표시되는 식이 [math]\displaystyle{ (a*b)*c }[/math]로 정의된다면 연산 *는 좌-결합성을 가진다고 하고, [math]\displaystyle{ a* (b*c) }[/math]로 정의된다면 우-결합성을 가진다고 한다. 뺄셈, 나눗셈 등은 좌-결합성을 만족하고 지수 연산 등은 우-결합성을 만족한다.

참고

• 교환법칙
• 분배법칙
• 곱셈
• 군 (수학)