결합법칙: 두 판 사이의 차이

2015년 10월 16일 (금) 05:12 판

결합법칙(associative law)은 둘 이상의 이항연산이 중첩되어 있을 때 연산의 순서에 따라 값이 변하지 않는 성질을 말한다. 즉 이항연산 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ (a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c) }[/math]이면 교환법칙을 만족하고, [math]\displaystyle{ a\circ b\circ c }[/math]로 표기한다. 이는 잘 정의되어 있음, 즉 혼동이 없음을 알 수 있다. 결합법칙을 만족하는 연산에 대하여 지수 연산(exponential)을 정의할 수 있다.

예시

보통 곱셈으로 표시하는 것들은 결합법칙을 만족한다.
복소수, 사원수 집합에서 정의된 덧셈과 곱셈은 결합법칙을 만족한다.
함수의 합성 연산은 결합법칙을 만족한다.
행렬의 곱은 결합법칙을 만족한다.
최대공약수와 최소공배수 연산은 결합법칙을 만족한다.
몇몇 논리 연산자들은 결합법칙을 만족한다. 그의 진리집합을 생각한다면 몇몇 집합 사이 연산은 결합법칙을 만족한다.

좌-결합성과 우-결합성

[math]\displaystyle{ a* b*c }[/math]로 표시되는 식이 [math]\displaystyle{ (a*b)*c }[/math]로 정의된다면 연산 *는 좌-결합성을 가진다고 하고, [math]\displaystyle{ a* (b*c) }[/math]로 정의된다면 우-결합성을 가진다고 한다. 뺄셈, 나눗셈 등은 좌-결합성을 만족하고 지수 연산 등은 우-결합성을 만족한다.

참고

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 * 보통 곱셈으로 표시하는 것들은 결합법칙을 만족한다.
 * [[복소수]], [[사원수]] 집합에서 정의된 덧셈과 곱셈은 결합법칙을 만족한다.
-* [[함수]]의 [[합성]] 연산은 결합법칙을 만족한다.
+* [[함수 (수학)|함수]]의 [[합성]] 연산은 결합법칙을 만족한다.
 * [[행렬]]의 곱은 결합법칙을 만족한다.
 * [[최대공약수]]와 [[최소공배수]] 연산은 결합법칙을 만족한다.