삼각부등식

고등학교와 대학교에서 가리키는 것이 다르다. 고등학교에서는 삼각함수가 포함된 부등식을 말하고, 대학교에서는 거리 함수의 성질을 말한다. 하지만 일반적으로 삼각부등식이라 하면 거리 함수의 성질을 가리킨다.

삼각함수가 포함된 부등식

간단하게는 [math]\displaystyle{ \sin x\geq0 }[/math], 조금 복잡하게 가면 [math]\displaystyle{ 1-\cos^2x-\frac{3}{2}\sin x+\frac{1}{2}\lt 0 }[/math]과 같이 삼각함수가 포함된 부등식을 말한다. 푸는 방법은 먼저 [math]\displaystyle{ \sin x,\,\cos x }[/math]만 나오게 부등식을 정리한 뒤, [math]\displaystyle{ \sin x }[/math] 혹은 [math]\displaystyle{ \cos x }[/math]를 다른 변수로 치환하여 부등식을 한 번 푼 뒤에 그래프를 활용하여 [math]\displaystyle{ x }[/math]의 범위를 찾아주면 된다. 예시를 하나 보자.

• [math]\displaystyle{ 1-\cos^2x-\frac{3}{2}\sin x+\frac{1}{2}\lt 0 }[/math], [math]\displaystyle{ 0\leq x\lt 2\pi }[/math]

  먼저 [math]\displaystyle{ \sin x }[/math]에 관한 식으로 정리한다. 그럼, [math]\displaystyle{ \sin^2x-\frac{3}{2}\sin x+\frac{1}{2}\lt 0 }[/math]이다. 이제, 이 식을 인수분해하면, [math]\displaystyle{ \left(\sin x-1\right)\left(\sin x-\frac{1}{2}\right)\lt 0 }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \sin x }[/math]에 관해 부등식을 풀어주면 [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\lt \sin x\lt 1 }[/math]이다. 그래프를 그려 이를 만족하는 [math]\displaystyle{ x }[/math]의 범위를 살펴보면 [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{6}\lt x\lt \frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\lt x\lt \frac{5\pi}{6} }[/math]임을 알 수 있다.

거리 함수의 성질

거리공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ x,\,y,\,z }[/math]에 대해, 거리함수 [math]\displaystyle{ d:X\times X\to\mathbb{R} }[/math]는 [math]\displaystyle{ d\left(x,y\right)\leq d\left(x,z\right)+d\left(z,y\right) }[/math]를 만족하는데, 이를 삼각부등식(Triangle Inequality)라고 한다. 직관적으로 표현하면, 한 점에서 다른 점까지 가는 거리는 다른 한 점을 들렸다 가는 거리보다 짧다는 소리. 중학교에서는 기하학을 배울 때 삼각형의 한 변의 길이는 다른 두 변의 길이의 합보다 짧다는 사실을 배웠을 텐데, 삼각부등식의 가장 대표적인 예이다. 고등학교에서는 임의의 두 벡터에 대해 [math]\displaystyle{ \left\|x+y\right\|\leq\left\|x\right\|+\left\|y\right\| }[/math]임을 배웠을 텐데, 이 역시 삼각부등식의 특수한 경우. [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]에서 유클리드 놈(norm)에 대해 삼각부등식이 성립한다는 사실은 코시-슈바르츠 부등식을 이용하여 증명한다.

증명 코시-슈바르츠 부등식에 의해, [math]\displaystyle{ \left(\left\|x\right\|+\left\|y\right\|\right)^2-\left\|x+y\right\|^2=\left\|x\right\|^2+\left\|y\right\|^2+2\left\|x\right\|\left\|y\right\|-\left\|x\right\|^2-\left\|y\right\|^2-2\left|x\cdot y\right|=2\left(\left\|x\right\|\left\|y\right\|-\left|x\cdot y\right|\right)\geq0 }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \left\|x+y\right\|^2\leq\left(\left\|x\right\|+\left\|y\right\|\right)^2 }[/math]이고, 양변 모두 양수이므로 [math]\displaystyle{ \left\|x+y\right\|\leq\left\|x\right\|+\left\|y\right\| }[/math]이다.