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*:<math>\left\{x_n\right\}</math>이 <math>x</math>로 수렴한다 가정하자. 그럼, 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해, 적당한 <math>N</math>이 존재하여 <math>n\geq N</math>이면 <math>d\left(x_n,x\right)<\varepsilon/2</math>가 성립한다. 이제, 임의의 <math>m,\,n\geq N</math>에 대해, <math>d\left(x_n,x_m\right)\leq d\left(x_n,x\right)+d\left(x,x_m\right)<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon</math>이므로 <math>\left\{x_n\right\}</math>는 코시 수열이다. *<math>\mathbb{R}^n</math>에서 코시 수열은 [[유계]]이다. *:<math>\varepsilon=1</math>이라 잡자. 그럼, 적당한 <math>N\in\mathbb{N}</math>이 존재하여 <math>n\geq N</math>이면 <math>\left\|x_n-x_N\right\|<1</math>이다. 그럼 [[삼각부등식]]에 의해, <math>\left\|x_n\right\|\leq\left\|x_N\right\|+\left\|x_n-x_N\right\|<\left\|x_N\right\|+1</math>이다. 즉, <math>n\geq N</math>이면 <math>\left\|x_n\right\|</math>는 <math>\left\|x_N\right\|+1</math>를 상계로 가진다. 이제 <math>M=\max\left\{\left\|x_1\right\|,\left\|x_2\right\|,\ldots,\left\|x_{N-1}\right\|,\left\|x_N\right\|+1\right\}</math>으로 두자. 그럼, 모든 지표 <math>n</math>에 대해 <math>\left\|x_n\right\|\leq M</math>이 성립한다. 따라서 <math>\left\{x_n\right\}</math>은 유계이다. *<math>\mathbb{R}^n</math>에서 코시 수열은 수렴한다. *:<math>\left\{x_n\right\}</math>이 [[유계]]이므로, [[볼차노-바이어슈트라스 정리]]에 의해 수렴하는 [[부분수열]]을 갖는다. 그 수열을 <math>\left\{x_{n_k}\right\}</math>이라 두고, 수렴값을 <math>x</math>이라 두자. 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해, 부분수열이 수렴하므로 적당한 자연수 <math>N_1</math>이 존재하여 <math>n_k\geq N_1</math>이면 <math>\left\|x_{n_k}-x\right\|<\varepsilon/2</math>이다. 한편, 코시수열의 정의에 의해, 적당한 자연수 <math>N_2</math>가 존재하여 <math>m,\,n\geq N_2</math>이면 <math>\left\|x_m-x_n\right\|<\varepsilon/2</math>이다. 이제 <math>N=\max\left\{N_1,N_2\right\}</math>라 두자. 그럼, <math>n\geq N</math>일 때, <math>\left\|x_n-x\right\|\leq\left\|x_n-x_{n_k}\right\|+\left\|x_{n_k}-x\right\|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon</math>이므로 <math>\left\{x_n\right\}</math>은 수렴한다. *임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해, <math>d\left(x_{n+1},x_n\right)<\varepsilon</math>이 성립하는 것은 코시 수열이기 위한 조건이 '''아니다'''. 즉, 필요조건이지만 충분조건은 아닌 것. *:<math>X=\mathbb{R}</math>, <math>x_n=\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}</math>으로 두자. 그럼 <math>x_n</math>은 분명히 발산한다. 하지만 주어진 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 적당히 큰 자연수 <math>n</math>을 잡으면 <math>d\left(x_{n+1},x_n\right)=\frac{1}{n+1}<\varepsilon</math>이 성립한다 ([[아르키메데스 성질]]). == 거리공간의 완비성 == 임의의 거리공간 <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>X</math>내의 임의의 코시수열이 수렴하면, 그 거리공간은 완비성(Completeness)를 갖췄다고 말한다. 예로, 위 성질에서 <math>\mathbb{R}^n</math>내의 코시 수열은 수렴함을 보였으므로, <math>\mathbb{R}^n</math>은 완비성을 갖춘 거리공간이다. == 같이 보기 == *[[수열의 극한]] *[[거리공간]] *[[부분수열]] [[분류:수열]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · 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ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț