정사면체(Tetrahedron, 正四面體)는 정삼각형 네 개로 둘러쌓인 입체도형이다. 면의 크기, 모서리의 길이, 꼭짓점의 연결상태 모두 같은 다섯 종류의 정다면체 중 하나이다.
특징[편집 | 원본 편집]
- 한 면이 정삼각형이며, 한 꼭짓점에 세 개의 모서리가 만난다.
- 꼭짓점, 모서리, 면의 갯수는 각각 4개, 6개, 4개이다.
- 정사면체 자기 자신과 쌍대관계이다.
- 회전대칭군은 [math]\displaystyle{ T \simeq A_4 }[/math], 거울대칭군은 [math]\displaystyle{ T_h \simeq S_4 }[/math]이다.
- 슐래플리 기호(Schläfli symbol)로는 {3,3}으로 나타난다.
- 정팔면체와 함께 배열하면 3차원 공간을 채울 수 있는 도형이다.
- 삼각뿔의 특수한 경우이다.
- 이면각은 [math]\displaystyle{ arccos(1/3) \approx 70.52^\circ }[/math]이다.
공식[편집 | 원본 편집]
하나의 모서리의 길이가 a일 때 공식은 다음과 같다.
- 부피 : [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{12} a^3 }[/math]
- 겉넓이 : [math]\displaystyle{ \sqrt{3}a^2 }[/math]
- 외접/내접하는 구의 반지름 : [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{6}}{4} a }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{6}}{12} a }[/math]
정다면체의 순환[편집 | 원본 편집]
- 정육면체의 각 면의 대각선을 하나씩 연결해서 정사면체를 얻을 수 있다.
- 정사면체의 인접한 모서리의 중점을 모두 연결하면 정팔면체를 얻을 수 있다.